轮换对称不等式的证明技巧.docx

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1、轮换对称不等式的证明技巧上海市宝山区教师进修学院王凤春轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。一、凑项升事法例1已知X,y,ZtR+,Jx+yz=1,求证：J4x+1+y4y+1+J4z+1V21分析：由于当X=y=z=g时，上述不等式的“二”成立，于是TR=历1T=5=A证明：因为2gj4x+1g+4x+1,所以J4x+1J(2+5),同理J+1g(2y+5),4(2z+5),上述三式相加，并将x+y+z=1代入化简即得证。二、凑项降累法例2证明Cauchy不等式m+届+W1:-

2、n证明：设I+a2+=a，则a：+(/c,所以ZaF+n,(一)2Za,nni=nni=2即a2+a2+*Na+/+册)。-n三、凑项去分母法例3设XqM,/是正数，且X+热+X”=1，求证：1-1-1(1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题2)X+%2X2+X3X“-1+XATn+X12I2.分析：由于当的=M=X=时等号成立，于是=-(x+xz+)On干+干+14X21证明：设+=X,因为+(X/+Xi+i)Xi玉十项+1420nX；1nnnnrI所以-+-(X2+X+1)xi即f.-oi=XjXj+4/=1/=1z=1ixi+xi+2例4设,4cR+,Kabc=I,求证：+!+-!-

3、(1995年第36届IMOaih-c)力3g+a)c(a+b)2证明：原不等式等价于上+上+&aa(b+c)b(c+a)c(a+b)2+-a(b+c)bcf同理，a(b+。)4当a=b=c=1时等号成立，此时上一=-a（b+c）,所以，a（b+。）4Ca+bc+a)ca,“+-c(a+b)ab,上述三式相加并化简得bc+a)4c(a+b)4+ca+-ab+bc+ca)-abbca=a(b+c)b(c+a)c(a+b)222例5设角A、B、C满足CoS2A+cos28+cos2C=1求证：sin2Asin-Bsin2C2分析：原条件等价于sin2A+sirj2B+sin2C=2,当sin?A=s

4、in?B=sin?C=g时等号成立，于是史直43,_1+2i3,史miC3上述三式相加并化简得证，证明略。sinA4sin2B4sin2C4四、凑项平衡系数法例6设z0,zx+y,则f+y2+z2之与（片+音+书）。分析：当=y=时等号成立。证明：因为+（铲”，八铲0,才，+阳之3岁，将上述三式相加并化简得，X2+y2+-z2(xz+yz)+xyrryO4O26426所以，xz+yz+z，gz，+-(xz+yz)+-xy-z(x+y)+-(xz+yz)+-xy7r)76即X+y+z-(yz+zx+xy)注：只有式的系数凑成T，式中Xy的系数才能是40上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。注：本文发表于上海中学数学2003年第6期