非初等原函数的几种类型优秀毕业作品.docx

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1、毕-论业一文（20届）非初等原函数的几种类型所在学院专业班级一数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要【摘要】学过数学分析和高等数学的人都知道，在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定积分是不能用初等函数来表达的。其原因是刘维尔定理过于复杂，难以为i股教科书所采纳。本文利用刘维尔定理的特殊情况给出了如何证明某些不定积分的非初等性及运用变量代换和分部积分的方法得出一些判断法则。此外，还举出一些例题加深理解。【关键词】非初等原函数；变量代换；分部积分；不定积分AbstractABSTRACTThepersonwho1earnedmathsana1ysisandtheh

2、ighermathematicsa11knowthattheteacherusua11yconc1usivete11ingstudentssomeuncertainIntegra1whichcannotbeusedthee1ementaryfunctiontoexpresswhenteachingindefiniteintegra1incontents,Thereasonisthat1iuWeiErtheoremistoocomp1extoadoptedbyforgenera1textbooks.Thispaperusingthespecia1caseof1iuWeiErtheoremprov

3、essomee1ementarypropertiesofindefiniteintegra1andSomejudgeru1esbyuseingvariab1esubstitutionandtheinisia1method.Inaddition,Isti11givesomeexamp1estoenhanceunderstanding.KEYWORDSThenon-e1ementaryantiderivatives;SUbStitUtiOn;IntegraIionbyparts;Indefiniteintegra1摘要IAbstractI目录II1刘维尔(J.1iouvi11e)定理和切彼晓夫定理

4、11. 1非初等函数的判定定理11.2 刘维尔(J.1iouvi11e)定理11.2 .1刘维尔第三定理11.3 .2刘维尔第四定理21.3 切彼晓夫定理22非初等原函数的判断法则41.4 ,E,(J)公类型的不定积分的判断法则41.4.1 当W总后时，不定积分/b(T)公是非初等积分41.4.2 当鲁罟工。时，不定积分(-k是非初等积分512(2Z.1)hc21.4.3 当Z%(7)小.0时，不定积分)上(可办是非初等积分5A=O21.4.4 当a2k(-1/盘一詈0时，不定积分/Ph。)小是非初等积分6Jt=O(乃)1.4.5 对任何非零多项式修(X),不定积分4(x)公是非初等积分71.

5、4.6 对任何非零多项式Pn(x),不定积分P11(x)1n1nxdx是非初等积分81.4.7 对任何非零多项式月(H,不定积分卜外(力InInxdx是非初等积分91.5 eiP1t(x)dx类型的不定积分的判别法则92. 2.1ei3k+2dx.ei3kdx.的非初等性93. 2.2不定积分Jwdr(4=1,2,-2)的非初等性124. 2.3不定积分JmX+h)”drQbR)的非初等性13,2.4当现（Wa孔T鲁卢。时，不定积分A=O（2）（一力）P11(x)sinx2dr、Pn(X)CoSf必;为非初等积分135. 2.5当OHo时,不定积分fsinxd、(I)!(1)!jfx)JR1J

6、JeoS3为非初等积分146. 2.6不定积分J0卜,匕（X）公的非初等性153非初等原函数的例题173.1 例1证明不定积分Je-办的非初等性173 .1.1证明的非初等性174 .1.2证明不定积分JHX7户为:的非初等性183.2 例2证明J/公,（力工0）的非初等性183.3 例3证明（t-S0）的非初等性183.3.1证明不定积分加的非初等性193.3.2令1=r,=1,2,193.4 例4证明不定积分J空以与JB的非初等性203.4.1对3.4的结论利用分部积分又能导出以下非初等性积分203.5例5证明不定积分JSinX2办:和cosY力;的非初等性20fsin3.5.1证明J二的

7、非初等性21213.5.2证明J宁公的非初等性.3.6例6证明=(x)+C,其中H(X)和。分别是有理函数和常数。特别地，有：定理：设f()是有理函数，g(x)是多项式函数，若不定积分JQg(A)A是初等的，则一定存在某有理函数R(X),使得7(%好3公=凤农鼠)+。，其中C是常数。上述定理告诉我们，若不定积分J(x1g3公是初等的，则一定存在某有理函数R(X),使得R(XMg为/(不妙的一个原函数，即(R(JM3J=F(XP叫也即R(X)+MX)g()=)(1)由于H(X)是有理函数，故令H(X)=纲，其中MA:)、Q(X)为互质多项式，代入(1)式，Qa)得制=(刹+翱阚整理得()()()

8、-P(X)_p()gQ)=-P()Q)(2)这样由(1)、(2)知，上述定理的两个等价定理，叙述如下：推论1设f(x)是有理函数，g(x)是多项式函数，则不定积分(xp(%r是初等的充要条件是存在一个有理函数R(X),使得R(x)+R(x)g(x)=f(x)成立。推论2设f(x)是有理函数，g(x)是多项式函数，则不定积分(“必:是初等的充要条件为存在互质多项式P(X)、Q(X),使得qCG)(*p(*K)g(6=-明Q)成立。1.2.2 刘维尔第四定理设一(%),g。%)(A=I2为X的代数函数,且gj(x)-gj(x)常数(i/)若函数W(X)=S人(XvA)的不定积分是初等函数，则fk(

9、x)*(%Z=1,2,)也是初等Jt=I函数。换句话说就得到下面的推论：推论3设.(xgjt(jv)(%=1,2,为1的代数函数,且gj(x)-gj(x)常数(i力。若v)=(w中有一项是积不出函数，则W(X)也是积不出函数。A:=11.3 切彼晓夫定理不定积分j”(+b)公(其中4,60O,pM是有理数)是初等函数的充要条件q,S+q三个数中至少有一个是整数。rr特别地，取。=1,b=-fr=1,则可得如下推论：推论4设p,4是有理数，则不定积分J(1-x)*ac是初等函数的充分必要条件是p,q,+4三个数中至少有一个是整数。2非初等原函数的判断法则2.1 Jc(j)A类型的不定积分的判断法

10、则设次多项式(力=%+a1x+axf,(af10)2.1.1 当。时,不定积分/(；)公是非初等积分证明：当人1时，由分部积分可得Nk=V7exxjk+7-xiexdxJy(一).o-)(-)!j则J力心=靖7rexxik+Yf1*xxedx当且仅哮消)产。时，卜可加是NMw=M由于D力是非初等的。由此得到推论5一公是非初等的。,InxJ所以得到推论6n.f-k-由2.1.1知二公是非初等的，因此，当且仅当XykJXHi(I)!的。bxdxAr-I-(I)JJ(-1)!j0时，J/f(g卜是非初等f)变量代换：令X=Ir,则公=!由代入得J,tJe1办为非初等的,所以推论7当萼=工时，不定积分gM*(I)!J分部积分，推论8当tjA时不定积分J=C2.1.3当g的(T)2*I*0时,不定A=o2呢60力邛F岛卜，由于ICGi也是非初等的。:仁卜是非初等的。7HpO得到推论&是非初等的。积分与(力公是非初等积分5的。通过适当的变量代换得到以下法则：令x?=贝IJX=，dx=k=dt，2je(x)公T浒(力，E是非初等的。推论9：当且仅当W阳(T)N由2.1.3得到2.1.4的判别法则：1.4当(-叶三琮声Wo时，证明：当左为正整数时，不定积分JCrr2A,-x2k-1eb2X24JeXdx=2b国)2前Z,，所以J此，当且仅当(T)M2：二1)!o时,A=