模型参考自适应控制系统说明.docx

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1、第四章模型参考自适应限制系统4.1 1yaPnou稳定型概念及基本定理在探讨线性系统时，由系统特征方程的根可以判定系统的稳定性：(负则系统为渐近稳定正则系统为不稳定特征根实部简单极点系统为稳定边界0I多重极点系统不稳定但对于非线性系统，难于求出特征根，微分方程难于求解，不能用特征根来推断系统稳定性。模型参考自适应限制系统是非线性系统，不能用探讨线性系统稳定性方法来探讨其稳定性。用1yaPImOU干脆法不须要解微分方程就可以推断其稳定性。1) 1yaP1oIoV稳定性定义D平衡点设被控系统由向量微分方程描述N(t)=W),XQo)=Xo(4.1-1)在初始条件(Xo,ZO)下它的解为：X(r)=

2、(,X00)式中X=xx2f-fxnn1状态向量f(X,t)=(X.。/2区),(X,)(1向量函数若状态空间中某一点(某一状态)Xe对全部时刻均满意Kxef)=0则称Xe为系统的一个平衡点。只要无外力作用(t)=0,则系统恒久处于该平衡状态。对于线性系统戈(t)=4X(t),若A为非奇异矩阵，则系统只有一个平衡点N=O对于非线性系统，可能存在一个或多个平衡点。通常假定平衡点为原点Xe二O2) 稳定性定义图4.12渐近稳定性示意图1yaP1mOV意义下是稳定的。如图4.1-1所示，其中IiX(C)Ii=(EHa)y为向量X()的范数6以Xe为球心的超球体的半径，Q(S)就是以Xe为球心，0,使

3、得只要Iix(t0)-xe0,总找不到一个实数6(点0)0,使11X(%)-XeIIV6(叫)时，有I1X-XeIIVJ(t0),则称平衡状态Xe为不稳定平衡状态。也就是说，从平衡点Xe的邻域C(S)动身的系统轨线，不管0X0P(X)=I=Ox=o1(X)VO则称V(X)为1yapunov函数说明：i.1yaP1mOU函数是正定的r0xo若KX)=I=0X=O称为半正定的IZ(X)=Iroxo若=0X=O称为半负定的IZ(X)=Iroxo若1=0X=O称为负定的ii .二次型函数IZ(X)=X7PX是一类重要的1yaPimoU函数，它是系统能量的度量。在平衡点时儿=能量为0,离开平衡点则系统具

4、有肯定的能量(位能，动能等等)。在平衡点旁边(Xe=X=O的邻域)K(X)0,您用0,detP0则V(X)是正定的。若P是奇异矩阵，且它的全部依次主子式非负，则V(X)是半正定的。2)连续时间系统的1yaPIZnoD定理对于系统置)=/(X()有平衡点Xe=即/(U)=Ot,若存在一个函数V(X),它具有下列性质V(X)和梯度VV(X)=鬻嘤,卷邛连续(t的连续函数)；V(X)正定；IZ(X)=NV(X)F/(X)=竿=饕/黑=NIZ(X)F/(X)为负定；1imV(X)=8I1XH；则这个平衡点为全局渐近稳定的。说明：i .满意条件，则这个平衡点是小范围渐进稳定的；ii .若条件改为它(X)

5、半负定，则这个稳定点是稳定的，但不是渐进稳定的3)求取合适的1yaP“nou函数对于线性定常系统X(t)=AXt它的平衡状态Xe=，渐近稳定的充要条件是对于随意给定的对称正定矩阵Q，存在一个对称正定矩阵P，它是矩阵方程AP+PA=-Q的唯一解。并且V(X)=XrPX就是系统的1yQP1moU函数证：取IZ(X)=XrPX,.po.V(X)是正定函数IZ(X)=幺XTPX)=XrPXXPX=XTATPX+XtPAX1t.I*X1ArP+PA)X=-XtQX由于Q是正定的，它(X)是负定的，可见Xe=是渐进稳定的00P=IeATtQeA1dtJ0举例：已知系统的运动方程为%+x+2bx+4x3=0

6、其中Q,b0推断平衡点打=0,石=是否为稳定平衡点解：将微分方程改写成状态方程形式：X1=X2%2=-2%-4%-ax2%1令X=Y1k101则X_图_I-2b-4好-a2.选择IZ(X)为20X10,%2V(X)=1+b妊+=01=0tX2=OHx)=%2%2+2fex1x1+4%1=%2(-2bx1-4%-ax2)+2x1%2+4x%2=-2bx1x2-4%i%2-Cix1+2bx1x2+4xjx2=-Q成由此可见，对于随意X=,1(X)VO,当/HO,汇2=0时K(X)=0,而当2。时它(乂)0,1/(乂)半负定，该平衡点X=O,即=0,X1=O是稳定的。在应用1yQP1moU定理时，假

7、如一时找不到适当的1yaP1mOV函数来满意稳定条件，并不意味着系统不稳定。4.2用可调整系统状态变量设计MRAC系统1 .设计问题的提法D数学模型参考模型的状态方程Nm(t)=AmXM+8m”(t)(4.2-1)被控对象的状态方程Ns(t)=4(t)Xs(t)+8s(t)(t)(4.2-2)其中4zn和Bzn模型的系数矩阵和输入矩阵，分别为九X九和九m4和风一一对象的系数矩阵和输入矩阵，分别为九Xzi和几xm,其中的矩阵元素c和bs”是对象受干扰影响的时变参数不能干脆测量。引入可调前馈调整器G(e,t)和反馈调整器F(e,t),如图4.2-1所示，这样就可以组成一个可调系统方程:u=G(e,

8、t)u-F(e,t)Xs代入(422)式得到：S=Ms(t)-Bs(C)/(e)Xs+Bs)G(e,t)u(4.2-3)2 )MRAC系统设计问题的提法设系统广义状态误差向量为e()=Xm)Xs()(4.2-4)将(421)和(423)代入(4.2-4),得到：。()=Amety)+Arn-&()+s(t)F(e,t)Xs+IBm-BSe)G(e,t)u(4.2-5)式(4.2-5)为广义误差方程，F(ej)调整4(t)4n,G(e)调整Bs(t)一BmMRAC设计任务是用1yQP1moU稳定性理论求调整G和F的自适应规律，以达到状态收敛和参数收敛。即：Iime(t)=0tHm4s(t)-8s

9、(e)F(,t)=AmtIimBs(e)G(e/)=Bmt3 .求自适应律D改写广义状态误差方程设F(e)=F*,G(e)=G*时，可调系统达到与参考模型完全匹配，BP：4)-Bs(C)F*=AmF(ett)=F*-Fett)F(e,t)=F*-F(etC)BSa)G*=BmG(e,t)=G*-G(e,t)G(e,)=G*-G(e,t)将(4.2-5)式改写为：(4.2-6)e(t)=Ane(C)-%G*-1F(eft)Xs+5mG*-1G(e,t)u式中F(ett)=F*-F(e)g(e,t)=G*G(e,t)(4.2-7)2)构造1yaP“nob函数设二次型函数为V=ePe+tr(Fr1户

10、)+tr(Gr-G)(4.2-8)式中P,71,都是对称正定矩阵对(4.2-8)式两边求导数%)=-AerPe+ePe+tr(FTVF+F户)+tr1(gtVg+gVg)由于rF旷)=EFrzI片),匕啕=tr(G2iGy)(转置矩阵的迹相等）将(4.2-6)式代入上式，得到V=ePAme-BmG1FXs+4G*-1Gu)+(Ame-BrnG*1FXs+BmG*-1Gu)1Pe+trF7甲)+tr(GG)由于ePBmG*TRXS=XSFG*-BnPefePBtnG*1Gu=urGrGBnPe(标量相等，标量转置仍为标量)上式又因为ePBmG*1FXs=tr(XsePBmG*-1F)ePBmG*

11、Tgu=tr(erPBmG*1G)最终得到：V=ePAmAnP)e+tr(FF-XsePBmG*-1f)+tr(G1G+uePBrnG*-1G)(429)上式中第一项“m为稳定矩阵，依据0QP1mOu稳定性定理，可以选择P,保证P4m+4b=-Q成立，其中Q为正定矩阵。这样第一项为负定。若选择(e,t)=1G*-e(t)Xs(t)遍t)=-2G*e(t)ur(t)则上式中其次和第三项都为0,吠为负定函数，保证MRAC系统是稳定的。因此得到参数自适应调整规律为：Ke.)=-加,0=-1G*-7BApeaM(C)F(e,0=-IG*TBAPe(T)XW(T)d+F(O)(4.2-10)和C(e,)

12、=-Ge)=2G*7BPe(t)ur(t)G(e,)=2G*Pe()ur()d+G(O)(4.2-11)举例：设有一系统的参考模型为*m(t)=mXm(t)+m”01CF11式中m=_10-5%=2可调系统方程为尼(C)=As-BsFXs+BsGu012式中4=-6-7Bs=4求尸和G的自适应律31解：为简洁起见选择1=2=/,P=I1由(4.2-10)和(4.2-11)两式可得到：ere；sixs2d+F(O)F(t)=-J,I(BmG*IyPe(TMdT+F(O)=J24=-(10e1+6e2)xsb(IOe1+6e2)xs2d+F(O)G)=G*T1)Pe(t)u1d+G(O)=%24温明1+G(O)二(10e1+6e2)ud+G(O)图4.2-2利用状态反馈的MRAC系统框图4.3利用对象的输入输出设计MRAC系