专题08 平面解析几何（解答题） （教师版）.docx

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1、专题08平面解析几何（解答题）31.【2019年高考全国I卷理数】已知抛物线Cy2=3x的焦点为凡斜率为1的宜线/与C的交点为4,B,与X轴的交点为P.（1）若IAE+BE=4,求/的方程;（2）若AP=3PB,求|.【答案】(1)y=-x：(2)_.2833【解析】设直线=+.(1)由题设得故IA/|+|8尸I=X+/+g，由题设可得+w=3y=-x-t,12(Z-1)由I2,可得9/+12Q-I)X+4/=(),则X+x2=-一=3x9从而jD=.得92837所以/的方程为了=：了一三.28(2)由AP=3P#可得Y=-3%3y=-X-Vt,由彳2,可得y2-2y+2r=0.y2=3x所以

2、X+%=2.从而一3%+%=2,故%=T,m=3.代入C的方程得=3,W=:.故I明=.【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.2.【2019年高考全国卷理数】已知点A（-2,0）,BQ,0）,动点M（x,y）满足直线AM与BW的斜率之积为-1记M的轨迹为曲线C2(1)求。的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,。两点，点P在第一象限，PE_1X轴，垂足为七，连结QE并延长交C于点G.(i)证明：ZPQG是直角三角形；(ii)求PQG面积的最大值

3、.【答案】(1)见解析：(2)(i)见解析；(ii).9【解析】(1)由题设得三E=-,化简得三+E=1(x2),所以。为中心在坐标原点，x2X2242焦点在X轴上的椭圆，不含左右顶点.(2) (i)设直线尸。的斜率为七则其方程为y=h(AO).y二丘2由，X2y2得X=/,.+-=11+2F2H1W=.+2F42,则P(u,Uk),Q(-u,-ukE(w,0).kk是直戊QG的斜率为方程为y=(i).k,、由I22得XJ11=1(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.设G(%,Ng),则一和心是方程的解，故牝=：2),由此得先=2+&2+Ruki,Y-UK从而直线PG的斜率为夕小=-

4、7”(322+2)k;U2+&2所以PQ_1PG,即APQG是直角三角形.（ii）由得IPQ1=21+22,IPG1=1,所以APQG的面积SIPoI1PG1一8S+F）,8*SrP（1+.2）+吟+川设z=k+1,则由心0得仑2,当且仅当上1时取等号.kOf1A因为S=T在2,+00）单调递减，所以当r=2,即时，S取得最大值，最大值为一.1+2r9因此，G面积的最大值为3.【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.3 .【2019年高考全国In卷理数】已知曲线Cy=y,。为直线尸

5、-；上的动点，过。作C的两条切线,切点分别为A,B.（1）证明：直线48过定点：（2）若以E（0,）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形AOBE的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或4【解析】（1）设1,-g14（石,凶），则x；=2y.j_由于V=,所以切线，”的斜率为西，故+5_丫.-xxx-t整理得2厉-2y+1=0设B（X2,%），同理可得2次2-2%+1=.故直线的方程为2tx-2y+=0.所以直线AB过定点（0,）.2（2）由（1）得直线AB的方程为y=fx+g由，可得f2/x1=0y=tx+-2XV=2于是+x2=2r,XX2=-1,y+%=，(芭+”2)

6、+=22+1,IAB=+t2x1-x2=V1+/2J(X1+电P-4x-2=2(/2+1).设4,d,分别为点Q,E到直线48的距离，则4=炉门，d1=-f2=.厂+1因此，四边形40BE的面积S=gI431(4+W)=(/+3)/TT.设M为线段AB的中点，则由于EJ.A8，而EW=（，/-2）,AQ与向量（1）平行，所以，+（广-2=0.解得1O或r=1当1=0时，5=3；当/=1时，5=42因此，四边形AOM的面积为3或4【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4 .【2019年高考北京卷理数】己知

7、抛物线C：炉=_2Py经过点（2,-1）.（1）求抛物线。的方程及其准线方程；（2）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为O的直线/交抛物线C于两点例，M直线产T分别交直线OM,ON于点A和点&求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】（1）抛物线C的方程为d=-4y,准线方程为y=1：（2）见解析.【解析】（D由抛物线C:/=-2Py经过点得p=2.所以抛物线C的方程为M=-4），其准线方程为y=1.（2）抛物线C的焦点为尸（0,-1）.设直线I的方程为y=kx-KkO）.y=Ax-I,2,得Y+46-4=0IX=-4y设M(Apy1),N(4)，则XW=-4“线QM的方程为y=N

8、令y=-i,得点人的横坐标XA=1.同理得点B的横坐标XB=-.%设点O(O,)，则04二(-五,一1一IoB=(-三,一1一Iy1)I必ZMo8=5+1)2Xy27嘉2针(S=-+(n+1)2XX2=-4+(+1)2.令DADB=0,即-4+5+1)2=0,则=1或=一3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0/)和(0,-3).【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.225.【2019年高考天津卷理数】设椭圆=+=1(4b0)的左焦点为尸，上顶点为3.己知椭圆的短ab轴长为4,离心率

9、为逝.5(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线M与X轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若ON=OF(。为原点)，且OPJ_MV,求直线P8的斜率.【答案】(1)+2i=(2)友e或一友e.5455又/=+/,可得=逐，b=2,【解析】(I)设椭圆的半焦距为c,依题意，28=4,E=X2y2所以，桶网的方程为2-+=i54(2)由题意,设尸(“力乂0),(%,0).设直线PB的斜率为M20),又B(0,2),则直线总的方程为y=H+2,与椭圆方程联立y=kx+2y整理得(4+5公卜2+20日=0可得与=_20R4+5/.o/m810Z彳入y=6+2得J5=r,

10、4IJKyp4一5公进而立线OP的斜率=XP-IoZ2在y=U+2中，令y=0,得XM=一丁.k由题意得N(O11),所以直线MN的斜率为一万.由OP_1MzV，得45,化简得公=空，从而化=拽。TOk2)55所以直线网的斜率为零或一季【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研窕圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.226.【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xy中，椭圆C:+与=1(ZjO)的焦点为尸1(-a-b21、0),F2(1,0).过尸2作X轴的垂线/,在X轴的上方，/与圆尸2：(工一1)2+丁=4/交

11、于点4与椭圆C交于点。.连结AQ并延长交圆乃于点B,连结8份交椭圆。于点E连结。已知DFi=-.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.22Q【答案】(1)+-=1：(2)E(1).432【解析】(1)设椭圆。的焦距为2c.因为Q(T,0),尸2(1,0),所以人户2=2,c=1.又因为On=I,AB1r轴，所以OF2=J5不二河=3|TF=I,因此20=DP+D户2=4,从而=2.由b2=ai-c2f得h2=3.因此，椭圆C的标准方程为三+11=.43(2)解法一：由(1)知，椭圆C：土+匕=1,a=2,43因为AB1r轴，所以点A的横坐标为1将X=1代入圆尸2的方程(X-1)2+)

12、2=16,解得y=4.因为点A在工轴上方，所以A(1,4).又尸(T,0),所以直线An：,y=2x+2.y=2x+211由,.、22“，得5/+6X-II=0，解得X=I或x=-r(X-I)+y=16511I?将X=_代入y=2x+2,得)=一，因此8(-日,一葭).3又尸2(1,0),所以直线8尸2：y=-(x-1).4y=(x-1)由，41322，得7f6x13=0,解得X=-I或x=:743又因为E是线段8人与椭圆的交点，所以X=-133将工=-1代入y=j(-1),得y=-1因此E(T,-1).2解法二：由(1)知，椭圆。：-=1.43如图，连结EK.因为8B=2,EF+EF2=2a

13、f所以ER=E8,从而NBaE=N8.因为尸M=尸田，所以NA=N8,所以NA=NBn,从而EFIF2A.因为AB_1r轴，所以En1I轴.X=-I3因为尸1(T,0),5X2V2,得y=.+=121433又因为E是线段8上与椭圆的交点，所以)，=一耳.3因此E(T【名师点睛】本小题主要考杳直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7.【2019年高考浙江卷】如图，已知点F(1O)为抛物线V=2p(p0)的焦点，过点尸的直线交抛物线于A、4两点，点C在抛物线上，使得八43。的重心G在X轴上，直线Ae交X轴于点

14、。，且。在点F的右侧.记AFG,CeG的面积分别为5i,S2.(I)求的值及抛物线的准线方程;S,(2)求寸的最小值及此时点G的坐标.【答案】(I)P=2,准线方程为kT；(2)最小值为1+立，此时G(2,0).2【解析】(1)由题意得5=1,即P=Z所以，抛物线的准线方程为户T.设A(XA,力)，矶/，力)，C(XC，乂)，重心G(%,%).令以=2f/W,则S=由于直线AB过尸，故直线AB方程为X=%)，+1,代入y2=4x,得丁_吐%_4=0.2故2)8=-4,即Nb=-一，所以BI12又由于XG=（4+/+DyG=（以+%+”）及重心G在X轴上，故力一：十%=。，得所以，直线AC方程为y-2，=2（x-），得q（t,o