绕任意轴旋转.docx

《绕任意轴旋转.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《绕任意轴旋转.docx（21页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、几何变换详解在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换(Trans1ation),缩放变换(Sca1ing),旋转变换(Rotation以下讨论皆针对DirectX,所以使用左手坐标系。平移变换将三维空间中的一个点区v，乙U移动到另外一个点,y,z,1,三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz,即x=X+Txy=y+Tyz=z+Tz平移变换的矩阵如下。y,z,1=xyz10()01缩放变换将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小(顶点坐标值变大或变小)，假设变换前的点是区V，乙1,变换后的点是,y,Z)I1那么x=x*Sxy,=y*Syz=z*Sz缩放

2、变换的矩阵如下。口；？OOOo,OOSzOO1旋转变换这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。绕X轴旋转绕X轴旋转时，顶点的X坐标不发生变化，y坐标和Z坐标绕X轴旋转度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看Iz$乙1表示变换前的点J,v,z,1表示变换后的点。变换矩阵如下。关于旋转的正方向,OPenG1与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如ComputerGraphicsCVersion,p409oIJ；0noocoaMir0-fiicoti0001绕Y轴旋转绕Y轴旋转时，顶点的

3、y坐标不发生变化，X坐标和Z坐标绕Y轴旋转度。xzV，Z,U表示变换前的点，区,V，z,U表示变换后的点。变换矩阵如下。rosO-/fin。O口t/Z11=yz1O1OOnhfiOconOOOO1绕Z轴旋转时，顶点的Z坐标不发生变化,X坐标和y坐标绕Z轴旋转度。X,y,z,1表示变换前的点,xy,z1,1表示变换后的点。变换矩阵如下。cottsinO()YZ1=Z110OOO1绕坐标轴旋转的矩阵推导上面三个旋转矩阵是如何得来的呢？我们推导一下，首先看一下二维的情况，再扩展到三维即可。实际上上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转，比如绕Z轴旋转,相当于在与XOY平面上绕原点做二维旋转。假设

4、点P(x,y)是平面直角坐标系内一点，其到原点的距离为r,其与X轴的夹角为A,现将点P绕原点旋转度，得到点P,(xy,),P与X轴的夹角为B,则A=B也(注意,在二维坐标中，逆时针旋转时角度为正，顺时针旋转时角度为负，下图中由P旋转到P,角度为,若是由P转到P,则角度为-er=(,.jy)=(rcoA+rsinAf/=(M)=(rcosB,mB=(rcos(A+),rsin(A+8)h,on(j4+8)=rconAi(tsrsitAsiiiff=j,cosysiHrsin(A+6)=minAcos+rcosAnin=ycos+jrnin于是可得下面的转换方程J=XCoBe-ysin，=ycos

5、+gin=Z(式一)写成矩阵的形式就是mnOcoaOO1coa(Mz,)=(.*z)-fiinO求得旋转矩阵为由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式绕Z轴旋转矩阵Cf)碉ai00-sinCQ确()0001()0001和前面给出的绕Z轴旋转矩阵完全吻合。对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的X用y替换，y用Z替换，Z用X替换即可。替换后得到y=ycoszmn（Xz=ZCoeB+ysin（式二）绕X轴旋转矩阵1OOOCOMsi()0一4”Hcon00001对于绕Y轴旋转的情况，只需对式二做一次同样的替换即可，的到的变换方程为Zz=zcosxsin(/=xco+zsinBV=对应

6、的变换矩阵为绕Y轴旋转矩阵com0-tii0010()ttiUcoti1OOO1逆矩阵平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。1000000O0coai00coti-ainO0EHc(t300aincoO00010001coa0-fiit0coa0ftino,0100010Oniu0coff0-siOeotiO0001OOO1c()nsi00ron*加8Oo,wi11cot0O00100001sincoaOOOO1OOOOO1缩放变换的逆矩阵正好和原来的效果相反，如果原来是放大，则逆矩阵是缩小，如果原来是缩小，则逆矩阵是放大。S

7、O（）040S90000Sz00001=HappyCoding=作者：zdd出处：绕任意轴旋转绕任意轴旋转的情况上匕较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的，对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作T旋转，对应操作A步骤1的逆过程，对应操作广】整个过程就是对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）1将旋转轴平移至原点2将旋转轴旋转至YOZ平面3将旋转轴旋转至于Z轴重合4绕Z轴旋转度5执行步骤3的逆过程6执行步骤2的逆过程7执行步骤1的逆过程/v2(a

8、2,b2zc2)/zv1(a1zb1,c1)/XZ/p(0,0,c)Yp(azb,c)YJxT/ZSZS/Xp(o,0,C)假设用V1(a1,b2,c2)和v2(a2,b2,c2)来表示旋转轴，表示旋转角度。为了方便推导，暂时使用右手系并使用列向量，待得出矩阵后转置一下即可，上面步骤对应的流程图如下。步骤1是一个平移操作,将v1v2平移至原点，对应的矩阵为10O-1,v010-MT!M)oo1-C10001步骤2是一个旋转操作，将p(p=v2v1)旋转至XOZ平面,步骤3也是一个旋转操作,将p旋转至与Z轴重合，这两个操作对应的图如下。做点p在平面YOZ上的投影点q。再过q做Z轴垂线，则r是P绕

9、X轴旋转所得,且旋转角度为,且于是旋转矩阵为j0O,OOORx(a)=0COBO1sinaOOv7,150OsinaCOSQOO一，一0O0O1OOO1现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合，旋转的角度为-beta（方向为顺时针），且con(-ft)=COAfi=M+Ii2+r21=T=2+/P+300如果旋转轴是过原点的,那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中间五个矩阵连乘起来，再转置一下，得到下面的绕任意轴旋转的矩阵M=Rg(-a)w凡七(一月)()2+(12)costb(1ron)+rtihac(1con)bninOOh(Icoti)mi62+(1b)conbc(1con)+atii

10、O(ie(1c(tn)+bsh(1co)(unJ+(1x;f1oatv=axis-y;f1oatw=ais-z;pOut-m00=cosf(theta)+(u*u)*(1-cosf(theta);pOut-m01=u*v*(1-cosf(theta)+w*sinf(theta);pOut-m02=u*w*(1-cosf(theta)-v*sinf(theta);pOut-m03=0;pOut-m10=u*v*(1-cosf(theta)-w*sinf(theta);put-m11=cosf(theta)+v*v*(1-cosf(theta);put-m12=w*v*(1-cosf(theta)

11、+u*sinf(theta);put-m13=0;pOut-m20=u*w*(1-cosf(theta)+v*sinf(theta);put-m21=v*w*(1-cosf(theta)-u*sinf(theta);put-m22=cosf(theta)+w*w*(1-cosf(theta);put-m23=0;pOut-m30=0;put-m31=0;put-m32=0;put-m33=1;如果旋转轴是不过原点的，那么第一步和最后一步就不能省略，将所有七个矩阵连乘起来，得到如下变换矩阵M=T(,一鲂)Rz(-a)-Ry(B)zRM-S)x(a)T(x1叭N)对应如下这个超长的矩阵，在这里(U

12、,V,W)=(a2,b2,c2)-(a1,b1,c1),且是单位向量，a,b,c分别表示(a1,b1,c1)/+储+wi)coattv(1coft)+wsinuw(1-cos)nnOtw(1co)wsinttw(1cos)si(v2-Fw2)u(bcw)(1-v2+(34-wa)cosvw(1co)usin0(u2+w2)r(0u+cw)j(1-tw(1c09)+utnnw2(uav2)cos(c(tia+va)w(au+)(1-001将上面的过程写成函数，该函数接受四个参数，第一个参数是一个输出参数,用来保存得到的旋转矩阵，第二个和第三个参数是旋转轴的两个端点，最后一个参数是旋转角度,注意，在函数中我们已经将上面的矩阵转置了