专题08 抛物线模型(原卷版).docx

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1、专题08抛物线模型抛物线秒杀小题常用结论(1)抛物线定义：IMF1=d(d为M点到准线的距离).如图(17)图(20)图(17)图(2)设A,8是抛物线y2=2pMp0)上不同的两点，P为弦AB的中点，Mk=p.(3)以抛物线y2=2pxS0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，尸是抛物线的焦点，A(x,)，),8(X2,竺)，A、B在准线上的射影为4、Bi,则有以下结论:即M=f,yy=-p2i若直线48的倾斜角为仇则IAFI=1,OS夕IM=+黑8；如图(18)II2+丽为定值；如图(18)HB1=X1+jq+p=彳嚼(其中。为直线4B的倾斜角)，抛物线的通径长为2，通径是最短

2、的焦点弦；如图(18)2SAAoB=忐方(其中夕为直线AB的倾斜角)；如图(18)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)图(19)以4尸(或为直径的圆与y轴相切；如图(20,21)以为直径的圆与直线48相切，切点为凡NAIF小=90。；如图(22)A,O,B1三点共线，B,O,4三点也共线；己知Ma0,和)是抛物线y2=2pNp0)上任意一点，点N(小0)是抛物线的对称轴上一点，则IMNmin=p).(4)如图(23)所示，AB是抛物线f=2py(p0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过4,B作抛物线的切线，交于点P,连接PF,则有以下结论：PE1A&点户的坐标为(型，一吼【例题选讲

3、】I例3(15)设抛物线C)2=3x的焦点为尸，点A为C上一点，若IEM=3,则直线布的倾斜角为()r工B,4答案C解析如图，作AHJJ于”，则IAMT用1=3,作尸EJ_AH于E,则4=33-2cosZEAF=ZEAf4即直线热的倾斜角为率同理点4在X轴下方时，直线的的倾斜角(16)(2018全国I)已知点M(1,1)和抛物线Cy2=4x,过。的焦点且斜率为火的直线与C交于A,8两点.若NAMB=90。，贝J&=.答案2解析法一：由题意知，抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为2的直线方程为y=做x1)(后0),由y=k(-)fJ2=4x消去y得Fa-I)2=4x,即K2-(22+4

4、)x29+41y=依11),+K=0.设Aa1,y),8(X2,J2),则x+x2=H-,X1X2=1.由J,1消去X得ICr=4x9=4(，+1),即y2-p,-4=0,则y=py”=-4.由NA例8=90,得总必山=(X1+1,Ji-1)(x2+1,j2-I)=x1x2+x1+x21+yj2-(,+y2)1=0,将x1+x2=W,xx24=I与y1+y2=%,力=-4代入，得k=2.M=4i,CC法二：设抛物线的焦点为FtA(Xy),B(x2ryi)t则J,所以济一)*2=4(x-S=4X2,Vi-VH4上)，则肝取AB的中点MTr0,和)，分别过点A,8作准线工=一1的垂线，垂足分别为4

5、,，又NAM8=90。，点M在准线工=一1上，所以|MM1=J|A8|=T(|AQ+|BQ)=(AA,+BB,).又M为AB的中点，所以MAT平行于X轴，且约=1,所以y+=2,所以2=2.(17)过抛物线j2=2pMp0)的焦点广作直线交抛物线于A,8两点，若4=28F=6,则p=.答案4解析1般解法设48的方程为X=myA(x,巾)，B(X2,”)，且xM,将直线AB的方程代入抛物线方程得炉-2Pmy-P2=0,所以W=-P以仙=.设抛物线的准线为/,过A作AC_1/,垂足为G过B作8O_U,垂足为。，因为IAE=2|8月=6,根据抛物线的定义知，Hn=IAq=X1+介6,I叫=|即=m+

6、=3,所以x112=3,xix2=9p,所以3+及)2(X1X2)2=4xX2=p2,即18p72=0,解得=4.应用结论法一：设直线AB的倾斜角为,分别过A,8作准线，的垂线/W,BB垂足分别为4,夕(图略)，则MAI=6,BB=3,过点8作44的垂线8C,垂足为C,则IAC1=3,Bq=62,易知NBAC=a,所以Sina=曜=乎，所以A8=9,解得=4.JS1I1CC法二:设直线AB的倾斜角为,则IAF1=1,BF=-,则有丁-=1cosa1十CoSa1-cosa2,解得CoSa=又IAF1=;2=6,所以=4.1 cosa3,rIcosar2111法三：VAf=6,8Q=3,I=&+，

7、=，*p=4.(18)(2017全国II)已知尸是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交轴于点N.若M为尸N的中点，则/N=.答案6解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交K轴于点A,过点M作准线的垂线，垂足为点8,交)，轴于点P,：.PM/0F.由题意知，尸(2,0),IFo1=IAO=2.丁点M为尸N的中点，PM/OF,P=FO=1.又8PI=HO1=2,.8=MP+8P=3.由抛物线的定义知IMFI=IM阴=3,故尸N1=2MQ=6.(19)如图，过抛物线y2=2pMp0)的焦点尸的直线交抛物线于点A,B,交其准线/于点C,若尸是AC的中点，且IAQ=4,则

8、线段AB的长为()A.5B.6C.yD.专答案C解析一般解法如图，设/与X轴交于点M,过点A作AO_1/交/于点。，由抛物线的定义知，AD=AF=4t由尸是AC的中点，知Q=2MF=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(XI，Ji)8(应，”)，则=x+g=x+1=4,所以x=3,可得川=2小，所以4(3,23),又尸(1,0),所以直线A户的斜率Z=吉=5,所以直线A户的方程为y=小(x1),代入抛物线方程y2=4x得3f10x+3=0,所以x1+M=竽，8=x+x2+p=?故选C.应用结论法一设A3,y),8(x2,2),则IAF1=x+g=x+1=4,所以即

9、=3,又X1X2=?=1,所以M=*所以|48|=为+彳2+=3+/+2=学.1124416法二因为而j+历历=万，IAQ=4,所以IBQ=个所以8=41+8F=4+g=丁.(20)过抛物线V=4x的焦点尸的直线/与抛物线交于A,3两点，若IAF1=28Q,则A8等于()A.4B.2C.5D.6答案B解析一般解法易知直线/的斜率存在，设为h则其方程为y=M-1).由得以2-(2炉+4)x+2=0,得xaX8=1,.因为IAFI=2|8网，由抛物线的y=4x定义得孙+1=2(xs+1),即以=2rs+1,.由解得xa=2,切=M所以IAB1=IAFI+8F1,19XaXbP2*应用结论法一由对称

10、性不妨设点4在X轴的上方，如图设A,8在准线上的射影分别为ZC,作8EJ4O于,设8F1=m,直线/的倾斜角为，则IAB1=3用，由抛物线的定义知HZ)I=IAF|=2m，BC=BF=mt所以COSe=晦=J,所以Iane=21则siM。=8cos2,sin=.又y2=4x,知2p=4,故利用弦长公式IA同=前=4.1I11323法二因为A=2听而+丽=徊j+丽=市=万=1，解得I阳=TIM=3,9故48=AQ+8H=2(21)设尸为抛物线C：y2=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则AQAB的面积为()a,4答案B.3-26-3C9-4D.解析一般解法由已

11、知得焦点坐标为KJ,0),因此直线A8的方程为y即4x3=0.与抛物线方程联立，化简得4)212小)一9=0,故|2-I113Q219ys1=(yA+vs)24yA=6.因此SACM8=ROz-冲|=?户6=不联立方程得一三+而21713=0,故xa+xb=5.根据抛物线的定义有IABI=XA+xb+p=/+=12,同时原点到直线13131OAB的距离为力=,4、+(44”=因此SAOA8=：A叫=不距离6/=IOF1sin303-8s故2X121=1A1-2-9-4=应用结论由2p=3,及A8=,得A4=4条=jX。=12.原点到直线A8的(22)过点尸(2,-1)作抛物线=4)，的两条切线

12、，切点分别为A,B,PA,PB分别交X轴于E,尸两点，。为坐标原点，则APE产与4048的面积之比为()A亚B亚ciD3答案C解析解法1设过尸点的直线方程为y=A(-2)-1,代入2=4y可得2一4履+弘+4=0,令4=0,可得163-4(84+4)=0,解得女=11,直线外，PB的方程分别为y=(1+5)(-2)-1,y=(1-2)(-2)-1,分别令y=0,可得(由+1,0),F(1-2,0),即IEK=2巾.Se=221=2,易求得A(2+25,322),B(22m，32啦)，直线A8的方程为y=x+1,A8=8,又原点O到直线A8的距离d=半，S=8=22.MPE尸与AOAB的面积之比

13、为今故选C.解法2设AaI,y),B(X2,”)，则点48处的切线方程为XIX=2。+巾)，XM=2(y+J2),所以o),fX2t0)即e(冷，0)，与，0)，因为这两条切线都过点P(2,2x=2(-1y).Spf卧IXZ2(-1,v2),所以,也k5即人过定点(。，D，则骁=二1),则X1_X222【对点训练】23.过抛物线CV=2px(p0)的焦点尸且倾斜角为锐角的直线/与。交于A,8两点，过线段AB的中点N且垂直于/的直线与C的准线相交于点“，若IMM=IAB1则直线/的倾斜角为()A.15oB.30oC.45oD.6024 .已知F是抛物线V=4i的焦点，过焦点尸的直线/交抛物线的准

14、线于点P,点A在抛物线上且IAP1=Hf1=3,则直线/的斜率为（）A.1B.2C.2D.2225 .已知直线/：y=心:一W1R）与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M,N两点，尸为抛物线的焦点，若2荡=WM则实数2等于（）A.*B.+1C.3D,+226 .已知抛物线M：y2=4x,过抛物线M的焦点尸的直线/交抛物线于A,B两点（点A在第一象限），且交抛物线的准线于点若Ai:=2混：,则直线/的斜率为（）A.3B.22C.3D.127 .已知直线y=Hr+2）（Q0）与抛物线C：y2=8x相交于A、8两点，尸为C的焦点，若|布|=2FB,则2的值为（）A1B近C2D地28 .己知抛物线V=2pMp0）的焦点为尸，M8C的顶点都在抛物线上，且满足石+7N+Ko,则看+-1+-k=kAChe.29 .已知