专题07 双曲线模型(解析版).docx

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1、专题07双曲线模型双曲线线秒杀小题常用结论(1)双曲线定义：IIMF111MFRI=2(2aV内局).如图(10)(2)如图(11)双曲线的焦点到其渐近线的距离为反与双曲线一营=130,b0)有共同渐近线的方程可表示为A盘=f(0)(3)如图(12)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为萼，异支的弦中最短的为实轴，其长为2公(4)如图(13)尸是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，Q、B分别为双曲线的左、右焦点，则SAPF1F2=一，其中。为N7PB.系：e=1+(-)2=1+2.(6)若尸是双曲线右支上一点,尸1、22分别为双曲线的左、右焦点，则IPB1min=+c,I

2、PFdmin=c-a(7)如图(15)设P,A,8是双曲线W=1(h0)上不同的三点，其中A，B关于原【例题选讲】例2(9)过点P(2,1)作直线/,使/与双曲线?一)，2=1有且仅有一个公共点，这样的直线/共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析依题意，双曲线的渐近线方程是y=gr,点P在直线y=$上.当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=2,此时直线/与双曲线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为)，-1=k(x2),即y=履+121y=)t+12k由00)的离心率为1则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=y3xC.y=xD.y=鸟答

3、案A解析法一：由题意知，e=5=小，所以C=于出所以b=c1-a2=市a,所以=6，所以该双曲线的渐近线方程为y=i5v=Er,故选A.法二：由e=-=1+(9)=小,得(=啦,所以该双曲线的渐近线方程为y=各xf故选A.,y)已知双曲线C-=1(0,0)的左、右焦点分别为尸|,F2,。为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M,直线PB交双曲线。右支于点N,若IP尸=2PB,且NMF2N=60。，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=2xB.y=丹-XC.y=2xD.y=2y2答案A解析由题意得，PF=2PF2,PF1-PF2=2a,PF=4,PF2=2af由于尸，M

4、关于原点对称，尸1,尸2关于原点对称，线段尸M，互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PFi/MF2,VZfF22V=60o,ZFiPF2=60,由余弦定理可得4c2=6/+4。2244Zrcos60,c=小4,b=yc2-a2=y2a.；双曲线。的渐近线方程为y=v.故选A.v22(12)已知双曲线C：，一g=130,b0)的左、右焦点分别为R,F2,点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于R,尸2的对称点分别为A，B,线段MN的中点在双曲线的右支上，若HNI-IBNI=12,则=()A.3B.4C.5D.6答案A解析如图，设MN的中点为R为MA的中点，F?为MB的中点、,：.IAN1=2|

5、尸尸I1BN=2PF2t又IAM-IBN=12,/.PF-PF2=6=2,.a=3.故选A.(13)(2018全国I)已知双曲线C?一V=1，。为坐标原点，尸为。的右焦点，过户的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,M若AOMN为直角三角形，则IMM等于()A.3B.3C.23D.4答案B解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=桔X.设两渐近线的夹角为2,则有tana=*=坐,所以=30o.所以NMoN=2=6(.又AoMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MA11oM如图所示.在RI尸中，0F=2,则KWI=5.则在RsoMN中，IMM=QNtan2tt=3tan60=3.故选B.（1

6、4）（2019全国I）双曲线C?一争=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若IPOI=IP外则APFO的面积为（）A.乎B.乎C.22D.32答案A解析双曲线一&=1的右焦点坐标为（加,0）,一条渐近线的方程为y=乎xt不妨设点P在第一象限，由于IPo1=IPF则点尸的横坐标为坐，纵坐标为坐=坐，即AEP的底边长为加，高为坐，所以它的面积为%#X乎=乎.故选A.【对点训练】9 .过双曲线条一g=130，QO）的右焦点尸（1，0）作X轴的垂线，与双曲线交于A,B两点，O为坐标Q原点，若“08的面积为东则双曲线的渐近线方程为.10 答案y=22v解析由题意得8=张.Sa4ob=*

7、gx*1=*.%,又a22=1，由得4=g,匕=斗，双曲线的渐近线方程为y=等=2.2,则。的渐近线方程为（A.y=x10.答案A解析11 .已知双曲线C：a$=1（a,比0）的右顶点A和右焦点尸到一条渐近线的距离之比为1：)B.y=2xC.y=2xD.y=3x由双曲线方程可得渐近线为：y=A,A(,0),F(c,0)f则点A到渐近线距离d=Wrr+Z?2,AF到渐近线距离J2=-=h,：.d：d2=:h=a：c=1I2,即CcW+/cc=y2at则，双曲线渐近线方程为y=.故选A.11.双曲线25=150,/0）的两条渐近线分别为八，/2,产为其一个焦点，若F关于八的对称点在h上，则双曲线的

8、渐近线方程为（）A. y=2xB.y=3xC.y=3xD.y=2x11.答案B解析不妨取F（C,0）,:bx-ay=0t设其对称点F（f,）在/2：b-ay=0,由对称性可，解得a2-b1尸西济2abc”=系转,点F(in,)在，2：bx+a.y=O,则a2b2r2f21十言多=0,整理可得哀=3,.*.=3,双曲线的渐近线方程为：F=输=1t.故选B.7212.已知产B分别是双曲线，一5=130,方0）的左、右焦点，P是双曲线上一点，若IPQ1+PF2=6,且APFiB的最小内角疗，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=2xB.y=jrC.y=xD.y=2x12 .答案D解析不妨设尸为双曲线右支

9、上一点，则IPB1PB,由双曲线的定义得IPF11-PF=2a92c2at又IPB1+P尸2=6,所以IPMI=4,PF=2a.又因为，C所以NPQ尸2为最小内42,b,ta3-re-rz（44）2+（2c）2-（2a）2小c,rtr）角，故NPFIF2=q.由余弦定理，可传24/QC=绘即（，5a=0,所以C=小,则6=啦,所以双曲线的渐近线方程为y=5.13 .已知B，F1是双曲线&一方=130,力0）的上、下两个焦点，过FI的直线与双曲线的上下两支分别交于点B,A,若AABFz为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为（）A.y=2xB.y=C.y=xD.y=x13 .答案D解析根据双曲线的定

10、义，可得IBBI-IBBI=%，TZXABB为等边三角形，IBF2I=IABI,BFI-A=AFI=2,又A尸,一依尸1=2,AF2=F+2=4,在AAQB中，|AaI=2,ABI=44,ZFAF2=120o,FF22=AF12AF22-2AF1AF2cos120,即4c2=42+162-224-=2802,亦即c2=1a2,贝IJh=yc2-a2=yc?=6a,由此可得双曲线。的渐近线方程为y=z.14 .己知尸1,尸2是双曲线C：点一=1（。0,/0）的两个焦点，P是C上一点，若IPnI+IPBI=6,且APQ尸2最小内角的大小为30。，则双曲线。的渐近线方程是（）A.2ry=0B.x2y

11、=0C.x2y=0D.2xy=014 .答案A解析由题意，不妨设PPB,则根据双曲线的定义得，IPF1I-IPF2I=2a,又IPQI+PB1=6a,解得IPBI=4mP啊=2a在尸2中,FF2=2c,而c,所以有仍川0)的右顶点为4,与X轴平行的直线交，于5,C两点，记NBAC=仇若的离心率为1则()A.J(,9B.J=FC.0住)D.9=苧15 .答案B解析Te=啦，,C=啦,，护=/a?=。?，.双曲线方程可变形为X2-J2=“2.设B(x(hyo),由对称性可知C(一即,泗)，点B(Xo,比)在双曲线上，高一H=/.A(,0),*Ab=(xo-a1泗)，At=(-o-af2，助祀=(X

12、O)(一松-4)+)3=一+jJ=0,t,即故选B.16 .已知尸尸2为双曲线C：f-y2=2的左、右焦点，点P在C上，IPFII=2|尸B,贝IJCOSZF1PF2=.3X2V2116 .答案j解析化双曲线的方程为号一方=1,则o=0=5,c=2,因为IPQI=2PB,所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知IPpIIIPBI=2=25,解得IPAI=41P尸2r,e3j23.3.r,(2啦)2+(46)2163=2y2f根据余弦定理仔COSNF1P72=OX入户x45=不17 .如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,。分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线48与产C相交于点O.若双曲线的离心率为2,则/5。尸的余弦值是.17.答案专解析设双曲线的标准方程为5一1=1(a0,b0)t由e=：=2知，C=20,又c2=2Z2,故b=4a,所以A(0,y3a)fC(0,一小),B(a,0),F(-2a,0),则8A=(a,T1-TBACF3),CF=(-2af54),结合题图可知，cosZ5DF=cos=TTBACf-2/+3/巾2ay1a1418 .过点P(4,2)作一直线45与双曲线C：-y2=1相交于A,8两点，若P为AB的中点,则依用=()A.22B.23C.33D.4319 .答案