专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题1.3空间向量基本定理【八大题型】【人教A版(2019)【题型1空间向量基底的判断】1【题型2用空间基底表示向量】3【题型3由空间向量基本定理求参数】6【题型4正交分解】8【题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】11【题型6利用空间向量基本定理求夹角】13【题型7利用空间向量基本定理证明垂直问题】16【题型8利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】20【知识点1空间向量基本定理】1 .空间向量基本定理如果三个向量4C不共面，那么对任意一个空间向量小存在唯一的有序实数组0,y,z),使得P=m+yb+zc.我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,C都叫做基向量.2 .用基底

2、表示向量的步骤：(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或己知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间的一个基底日，btA可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有。，九匚不能含有其他形式的向量.【题型1空间向量基底的判断】【例1】(2023春河南开封高二统考期末)若伍石,可构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是()A.d+b,a-b,dB.d+b,d-b,bC.d+b,d-bfb+cD.a+b,d+b+c,c【解题思路】

3、根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【解答过程】对于A,a=i(ab)+(a-b),因此向量d+1,d-M五共面，故不能构成基底，故A错误;对于B,B=TKd+司一(d-司,因此向量a+B,d-另石共面，故不能构成基底，故B错误；对于C,假设向量五+另花+共面，则3+A=4(d+另)+3),即不=q+0d+-1)B,这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；对于D,(+b)+c=+c,因此向量,+B,d+E+己A共面，故不能构成基底，故D错误；故选：C.【变式1-1(2023春.湖南高一校联考期末)已知五花,可是空间的一个基底，若/=d+3,q=+c,则下列与心。构成一组空间

4、基底的是()A.f=2b3cB.r=db+2cC.r=d+2bcD.r=2d+K+c【解题思路】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】A.设旧=xp+yq,所以2石-3c=x(+b)+y(d+c)整理得,22-3c=(xy)d+xb+yc,x+y=0x=2,无解.y=-3所以由4与ii构成一个基底.B.因为=d-B+2乙所以=炉，所以排除B：C.因为ft=d+2b-1,所以it=2万一心所以排除C：D.if=xp+yq,所以2dS+c=x(d+b)+y(a+c),整理得，2d+B3=(%+y)d+%E+y总(X+y=2_因为伍石,可是空间的一个基底，所以X=I,所

5、以：，(y=1U-所以小g与ii不构成一个基底，排除D.故选：A.【变式12】(2023春内蒙古兴安盟高二校考阶段练习)若G,b,不构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是()A.d+b,d-c,bB.c,b+ccC.5+c,d+5+c,dD.d,d+b,db【解题思路】根据空间向量共面定理可知BCD选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设A中向量共面,可知不存在满足条件的实数尢，由此知假设错误，则A中向量可以作为基底.【解答过程】对于A,假设d+B,a-c,族共面，则可设G+B=A伍一丹+灰九WR)A=I=0,方程组无解，a+b,a-c,族不共面，可以作为空间一组基底，A正确：

6、M=I对于B,+：.c,b+cfB乙共面，不能作为空间一组基底，B错误;对于C,6+=伍+6+)-：，3+己,+3+己1共面，不能作为空间一组基底，C错误;对于D,a=4(I+5)+X五一+B,2共面，不能作为空间一组基底，D错误.故选：A.【变式1-3(2023秋云南大理高二统考期末)若耳瓯与是空间的一个基底，且向量协=药+或+国三二药一2五+2国沆=西+3+福)不能构成空间的一个基底，P!Jfc=()A.-B.IC.-D.-3244【解题思路】由题意可知，向量6?、OB.沅共面，则存在实数x、y使得沆=xUX+y而，根据空间向量的基本定理可得出关于、y、k的方程组，即可解得k的值.【解答过

7、程】因为向量编=瓦+可+可，丽=瓦-2记+2瓦,沆=k7+3瓦+2可不能构成空间的个基底，所以65、OB,而共面，故存在实数无、y使得而=%五？+y说,即k可+3eJ+2eJ=x(e+与+石)+y(q-2eJ+2瓦)=(X+y)可+(x-2y)eJ+(%+2y)eJ,k=X+y因为西,瓦,砧是空间的一个基底，则x-2y=3X+2y=2故选：D.【题型2用空间基底表示向量】【例2】(2023全国高二专题练习)在四面体。一48C中，PA=2OP,。是BC的中点，且M为QQ的中点，若65=d,OF=b,OC=c,贝IJoM=()AIT11工I1rA.-a+-b+-C644d1,1r.1B.-a+-b

8、+-c622【解题思路】利用基底d41表示前,丽，再利用向量线性运算求解即可.【解答过程】因为2晶=p所以而=965,因为。是8C的中点，所以的=而+反）,因为M为PQ的中点，所以丽=*而+丽)=OP+OQ=X+J(OF+OC)=/+,故选:A.【变式2-1（2023春福建龙岩高二校联考期中）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱AIC1的中点.d+b+c22设瓦5=,且瓦=B,BC=cf则屁=()A.D-HF【解题思路】由空间向量线性运算即可求解.【解答过程】由题意可得丽=西+瓦石+砧=西+瓦？+（京=BB1+84+AC=BB1+84+；(BC-BA)=府+工流+西=,+与+无212

9、2故选：A.【变式2-2（2023春河南商丘高二校联考期中）如图，在三棱锥。-ABC中，CD=CB,OE=OA,若瓦？=,OB=b,OC=c,则尻=（）O【解题思路】利用向量线性运算将屁用乙bt/表示即可.【解答过程】如图：DE=DC+W+OE11一=-BC+CO+-OA11=-(pc-OB)-OC+-OA1一1,2一=OAOBOC333ITIZ21=-a-D-c333故选：C.【变式2-3(2023全国高三对口高考)如图所示，在平行六面体ABCD-GDI中，M为aG与BiD1的交点，若方=益，AD=b,AAi=Ct则丽=()A-+Fb)+M+dA-a-b+cD.-+b+c【解题思路】根据空间

10、向量基本定理，用血,而,而表示出前即可.【解答过程】由题意，因为M为A1G与的交点，所以M也为4G与HD1的中点,因此前=利-庭=X诉+电）+=+T同+3一扣十的+己故选：D.【题型3由空间向量基本定理求参数】【例3】（2023秋贵州贵阳高二统考期末）如图，在三棱柱ABC-AIBICI中，M,N分别是和必CI的y,z的值分别为（）【解题思路】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解.【解答过程】由题意可得：MN=MB+CV=AA+(AC-AB)-AC=-AB+AC+AA,故X=-I,y=5,z=5故选：A.【变式3-1（2023秋高二课时练习）己知B4,BC,B/为三条不共面

11、的线段，若近=xAB+2yBC+3zCCf那么+y+z=()A.1【解题思路】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【解答过程】根据向量加法法则可得：温=近+前+西,因为温=xAB+2yBC+3z京,所以=1,2y=1,3z=-1所以=1,y=：，z=-：,所以+y+z=1+：-23236故选：B.【变式3-2（2023春四川绵阳高二校考阶段练习）已知四面体OABC,G是的重心，G是OG/上一点，且OG=3GG,若赤=X万5+y而+z元，则（x,y,z）为（）【解题思路】连接AG/并延长，交BC于点E,利用向量加减、数乘几何意义用UX证,而表示出面，即可得答案.【解答过程】如图所示，连接AG/并

12、延长，交BC于点E,则点E为BC的中点,AE=(AB+AC)=(0B-20A+0C),则宿=AE=(S-20A+0?),由题设，赤=3西=3(西一丽)，3331211OG=-0G=-(0A+AG)=-(0A+-OS-0A+-0C)=-(0A+S+0C)4443334所以X=y=z=.故选：A.【变式3-3(2023秋山西吕梁高二统考期末)如图，在四棱锥P-ABCO中，PA_1平面4BC0,M,N分别为PC,尸。上的点，且两=2耐，PN=NDf若丽=%而+y而+z而，则x+y+z的值为()【解题思路】以所,而,而为基底表示丽，由此求得x,y,z,进而求得+y+z.【解答过程】7Zm=am-Jv=

13、4C+cm-(ad+ap)一一11一1一=AB+AD+-CP-AD-AP322一1.1.=AB+-AD+-(AP-AC)-AP一1一1一1一1一=AB+-AD+-AP-AC-AP2332=AB+AD-(AB+AD-AP236=a5+ad-iJp,所以X=Wy=IZ=,x+y+z=(JoD，故选:B.【知识点2空间向量的正交分解】1 .空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是I,那么这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,4表示.(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量。，均可以分解为三个向量私犷，zk使得。=xi+W+水.像这样把

14、一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.【题型4正交分解】【例4】(2023全国高一假期作业)设fj,高是单位正交基底，已知向量力在基底便石,引下的坐标为(8,6,4),其中G=f+j,b=j+k,c=+I,则向量炉在基底犷,敢下的坐标是()A.(10,12,14)B.(12,14,10)C.(14,12,10)D.(4,3,2)【解题思路】由题设得力=86+63+4冷结合已知条件求户关于己的线性表达式，即可知在基底HJ,卮下的坐标.【解答过程】由题设知：p=8+6b4c,而&=f+/,b=j+k,c=+,.p=8(+J)+6(7+4(k+T)=12+147+IOk,/在基底己ZR下的坐标是(12,14,10).故选：B.【变式4-1(2023春高二课时练习)己知技工,可是空间的一个单位正交基底，向量方=G+2石+3冷位十五一瓦均是空间的另一个基底，向量方在基底卜+石,五一了下的坐标为()a(p-3)b(-1P3)cG,4,3)d(H-3)【解题思路