专题1.5 空间向量的应用【十大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题15空间向量的应用【十大题型】【人教A版(2019)【题型1求平面的法向量】2【题型2利用空间向量证明线线平行】3【题型3利用空间向量证明线面平行】5【题型4利用空间向量证明面面平行】7【题型5利用空间向量证明线线垂直】9【题型6利用空间向量证明线面垂直】10【题型7利用空间向量证明面面垂直】12【题型8利用空间向量研究距离问题115【题型9利用空间向量求空间角】17【题型10利用空间向量研究存在性问题】18举一反三【知识点1空间中点、直线和平面的向量表示】1 .空间中点、直线和平面的向量表示(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点尸就可以用向量

2、而来表示.我们把向量舁称为点尸的位置向量.(2)空间中直线的向量表示式：直线/的方向向量为。，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O,可以得到点尸在直线/上的充要条件是存在实数人使赤=况+口，把油=。代入式得分=次+福,式和式都称为空间直线的向量表示式.(3)平面的法向量定义：直线11a,取直线/的方向向量。，我们称向量Q为平面。的法向量.给定一个点A和一个向量m那么过点a,且以向量。为法向量的平面完全确定，可以表示为集合pR=o.【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.【题型1求平面的法向量】【例】(

3、2023春高二课时练习)已知A(1,1,0),8(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.(1,1,1)B.。,当净cG,沾D.(今*当)【变式1-1(2023秋云南昆明高二昆明一中校考期末)空间直角坐标系。一到Z中，已知点A(2,0,2),8(2,1,0),C(0,2,0),则平面ABC的一个法向量可以是()A.(1,2,1)B.(-1,2,1)C.(2,1,2)D.(2,-1,2)【变式1-2(2023全国高二专题练习)如图，四棱柱48CD-A1B1C1DI的底面4BCD是正方形，。为底面中心，A1OI5FffiZ1FCD,AB=AA1=2.平面OCB1的法向

4、量记=(%y,z)为()A.(0,1,1)B.(1,-1,1)C.(IA-I)D.(-1,-1,1)【变式1-3(2023秋北京石景山高二统考期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA1平面ABC,481ACtAB=AC=I,PA=2,以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，书为平面PBC的一个法向量，则前的坐标可能a(p?)b(ppj)c(?)d(?;)【知识点2用空间向量研究直线、平面的平行关系】1 .空间中直线、平面的平行(1)线线平行的向量表示：设2分别是直线/1，2的方向向量，则/|/2=“1襄2=歹心使得1=U2.(2)线面平行的向量表示：设N是直线/的方向向量，是平面的法向量，/Ca

5、,则/=0.(3)面面平行的向量表示：设Wi,2分别是平面a,的法向量，则。夕=20五氏，使得1=U2.2 .利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.3 .证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.4 .证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.【题型2利用空间向量证明线线平行】【

6、例2】(2023春高二课时练习)如图，四边形48CO和ABfT都是平行四边形，且不共面，M,N分别是AC,8尸的中点，求证：CE/MN.【变式2-1(2023春高二课时练习)已知棱长为1的正方体OABC-。送18IQ在空间直角坐标系中的位置如图所示，0,瓦66分别为棱0141，4$1，8二。的中点，求证：DE/GF.【变式2-2（2023春高二课时练习）如图，在正方体ABCD-A1BICWi中,点M,N分别在线段4$,D1BI上，口BM=IBA1，BIN=TBID1，/为棱BIC1的中点.求证：MN/BP.【变式2-3（2023江苏高二专题练习）己知长方体ABCO-A1B1C1DI中，AB=4

7、,AD=3,AA1=3,点S、P在棱CC1、44上，且ICS1=ISG|,AP=2PA1t点R、Q分别为A8、D1C1的中点.求证：直线PQII直线RS.【题型3利用空间向量证明线面平行】【例3】（2023全国高二专题练习）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD为直角梯形，其中AD8C.4O1AB1AD=3,AB=BC=2,PA_1平面48CD,且P4=3,点M在棱Po上，点N为BC中点.若OM=2MP,证明：直线MN平面248.【变式3-1（2023春高二课时练习）如图，已知矩形4BC。和矩形4DE尸所在平面互相垂直，点M,N分别在BD,4E上，且BM=bD,AN=AE,求证：MNI1平

8、面CDE.DC【变式3-2（2023春高二课时练习）如图，在四棱锥P-ASe。中，必_1底面ABCO,AB1AD,BC/ADf若直线8/平面ACE,PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱尸。的中点，PF=APC（4为常数，且0V1则/_!_(?R,使得M=筋.(3)面面垂直的向量表示：设m分别是平面a,”的法向量，则J14J_2=2=O.2,证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系T写出点的坐标T求直线的方向向量T证明向量垂直一得到两直线垂直.3 .用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：(1)利用线线垂直：将直线的方向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；判断直线

9、的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量：将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行.4 .证明面面垂直的两种方法：(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.【题型5利用空间向量证明线线垂直】【例5】(2023春高二课时练习)在棱长为1的正方体4BC0-ABo中，E,F分别是DD,D8中点，G在棱CD上，CG=-CD,H为CG的中点，求证：EF1B,C;4【变式5-1(2023秋广东广州高一校考期中)如图，AD1ABtAD1AC,AB1ACfAB=AC=AD=

10、IfE,尸分别是4B,CO的中点，M,N分别是BC,8。的中点，证明：EF1MN.【变式52】(2023秋高二课时练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A出CID1中，,F分别是DD】、BD的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：EF1B1C.【变式5-3（2023春高二课时练习）如图，在四棱锥P-A8CO中，%_1平面A8CD,四边形ABCO是矩形，P=AB=f点尸是PB的中点，点E在边8C上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有尸E_1AE【题型6利用空间向量证明线面垂直】【例6】（2023春高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC-A归心的所有棱长都为2,D为CG的中点.求证：45/

11、_1_平面4/.【变式6-1(2023春江苏宿迁高二校考阶段练习)如图，已知正方形ABCD和矩形4CEF所在的平面互相垂直，A8=AF=I,M是线段EF的中点.(1)求证：AM1BD.(2)求证：AM1平面BOF.【变式6-2(2023春广西柳州高二校考阶段练习)已知平行六面体力BCD-A1BIC1D1的所有棱长均为1,BAD=BAA1=DAA1=60.用向量解决下面的问题(1)求ACI的长；(2)求证：AG，平面480.【变式6-3(2023春高二课时练习)如图，在四棱锥P48CD中，PD1底面ABCO,底面48CD为正方形，PD=DC,E,尸分别是A3,PB的中点.(1)求证：EF1CDi

12、(2)在平面PAO内求一点G,使GF1平面PC8.【题型7利用空间向量证明面面垂直】【例7】(2023春高二课时练习)如图所示，AABC是一个正三角形，Ee_1平面ABC,BD/CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证：平面。EA_1平面ECA.【变式7/】(2023全国高三专题练习)如图，在五面体ABCDE/中，E4_1平面A8CQ,AD|BC|FE,AB1AD,若4。=2,AF=AB=BC=FE=1.(1)求五面体ABCQM的体积；(2)若M为EC的中点，求证：平面CDEI平面AMD【变式7-2(2023秋新疆昌吉高二校考期末)如图，在四棱锥一ABCO中，_1底面A8CO,AD1ABtABDC,AD=DC=AP=IyAB=I,点E为棱PC的中点.证明:(I)BE平面附。；平面尸COJ_平面BAD【变式7-3(2023全国高三专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,。是8C的中点，P0_1平面A8C,垂足。落在线段A。上，己知BC=8,PO=4,4。=3,OD=2.(