专题1.3 空间向量基本定理【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题1.3空间向量基本定理【八大题型】【人教A版（2019）【题型1空间向量基底的判断】1【题型2用空间基底表示向量】2【题型3由空间向量基本定理求参数】3【题型4正交分解】4【题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】5【题型6利用空间向量基本定理求夹角】7【题型7利用空间向量基本定理证明垂直问题】9【题型8利用空间向量基本定理求距离（长度）问题】10【知识点1空间向量基本定理】1 .空间向量基本定理如果三个向量4C不共面，那么对任意一个空间向量小存在唯一的有序实数组0,y,z）,使得P=m+yb+zc.我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,C都叫做基向量.2 .用基底表示向

2、量的步骤：（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.（2）找目标：用确定的基底（或己知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.（3）下结论：利用空间的一个基底日，btA可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有。，九匚不能含有其他形式的向量.【题型1空间向量基底的判断】【例1】（2023春河南开封高二统考期末）若伍石,可构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（）A.d+b,a-b,dB.d+b,d-b,bC.d+b,d-bfb+cD.a+b,d+b+c,c【变式1-1（20

3、23春湖南高一校联考期末）已知d是总是空间的一个基底，若户=五+3,q=d+c,则下列与心。构成一组空间基底的是（）A.r=2b3cB.r=db+2cC.r=a+2bcD.r=2dS+c【变式1-2（2023春内蒙古兴安盟高二校考阶段练习）若G,b,乙构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.d-b,d-cfbB.c,b+c,b-cC.S+c,d+S+c,dD.a,d+btd-b【变式1-3（2023秋云南大理高二统考期末）若；,五与是空间的一个基底，且向量m=可+孩+瓦,丽=区一2孩+2国沆=有+3或+苑）不能构成空间的一个基底，则k=（）A. -B.-C.-D.-324

4、4【题型2用空间基底表示向量】【例2】（2023全国高二专题练习）在四面体O-48C中，PA=2OPf。是BC的中点，且为PQ的中点，若褊=五，OB=b,OC=c,则丽=（）【变式2-1（2023春福建龙岩高二校联考期中）如图，在直三棱柱ABC-必B1C1中，E为棱AICI的中点.A11V*11.A.-a+b+-c22C.+S+设瓦5=,BB=b,BC=c,则而=()B. =d+=b+F22D.-U+b+c2【变式2-2（2023春河南商丘高二校联考期中）如图，在三棱锥。-48C中，CD=CB,OE=OA,若瓦？=,OB=b,OC=c,则尻=（）OB.【变式2-3（2023全国高三对口高考）如

5、图所示，在平行六面体ABC。一为aGD1中，M为aG与BiD1的交点，若同=益，AD=b,A=c,则丽=（）【题型3由空间向量基本定理求参数】c一家-9+1D.-a+b+c如图，在三棱柱ABC-4CQ中,M,N分别是BB1和4C1的【例3】（2023秋贵州贵阳高二统考期末）My,z的值分别为（）cW【变式3-11（2023秋高二课时练习）已知BA,8C,BBi为三条不共面的线段，若福=xAB+2yBC+3zC,A.1D.117那么+y+z=()【变式3-2（2023春四川绵阳高二校考阶段练习）已知四面体OA8C,3是的重心，G是03上一点，且OG=3GG,若赤=X瓦J+y赤+z，则。,y,z）

6、为（）A.B./333,4,44【变式3-3(2023秋山西吕梁高二统考期末)如图，在四棱锥P-48C0中，PA_1平面ABCO,M,N分别为PC,PD上的点，且两=2砒，PN=ND,若丽=%荏+y彳5+z而，则+y+z的值为()BIA.C.1【知识点2空间向量的正交分解】1 .空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用i,jtA表示.(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量。，均可以分解为三个向量H,MZA使得。=xi+W+水.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行

7、正交分解.【题型4正交分解】【例4】(2023全国高一假期作业)设疗向是单位正交基底，已知向量力在基底仅石下的坐标为(8,6,4),其中G=I+7，b=j+k,c=k+,则向量B在基底J,双下的坐标是()A.(10,12,14)B.(12,14,10)C.(14,12,10)D.(4,3,2)【变式4-1(2023春高二课时练习)已知伍石,现是空间的一个单位正交基底，向量户=五+23+33伍+族,日一粒耳是空间的另一个基底，向量方在基底缶+B,d-另同下的坐标为()a(p-p3)b(-H3)c(p-p3)D.(-级,3)【变式42】(2023秋河北邯郸高二统考期末)已知SA平面ABGABIAC

8、fSA=AB=1,BC=5,则空间的一个单位正交基底可以为()A.福挥,码B.AB,AC,ASc.abac,as【变式4-3(2023秋山西大同高二校考阶段练习)已知向量乙b,才是空间的一个单位正交基底，向量日+b,d-b,d+乙是空间的另一个基底，若向量方在基底d,5,0下的坐标为(2,3,4),则万在G+%a-b,五十3下的坐标为()a-(-?4)b(II4)c(p-p4)d【知识点3用空间向量基本定理解决相关的几何问题】I.证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量。，力SW0),ab的充要条件是存在实数九使。=劝.(2)如果两个向量a,b不共线，那么向量P与向量Q,5共面的充要

9、条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa-yb.2 .求夹角、证明垂直问题.。为“，。的夹角，则cos。=丽.(2)若a,b是非零向量,则Cb=Gb=O.3 .求距离(长度)问题=(X=ABAB).4 .利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得.【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2

10、)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】【例5】(2023高二课时练习)A是C。所在平面外一点，G是ABCD的重心，M、E分别是80、AG的中点，点尸在线段AM上，IAF1=IkIM|,判断三点C、E、尸是否共线.【变式5-1（2023春高二课时练习）如图，正方体48CD-AIBiQDi中，。为A1C上一点，且初=:砧,8。与AC交于点M.求证：G，。，M三点共线.【变式5-2（2023秋广东中山高二校考阶段

11、练习）在空间四边形ABC。中，H,G分别是AO,CO的中点，E,尸分别边AB,BC上的点，且V=券=gCA=a,CB=b,DC=CFBEB3（1）求而（用向量a,表示）：（2）求证：点E,F,G,H四点共面.【变式5-3（2023秋高二课时练习）已知A,B,C三点不共线，对平面A8C外的任一点。若点M满足丽=q瓦5+赤+沆）.判断而5,MB,就三个向量是否共面;（2）判断点M是否在平面ABC内.【题型6利用空间向量基本定理求夹角】【例6】（2023秋湖北省直辖县级单位高二校考期中）如图，正四面体力BCD（所有棱长均相等）的棱长为1,E,F,G,”分别是正四面体48C。中各棱的中点，设荏=G,A

12、C=bfAD=C.（1）用而=d,AC=b,而=F表示并，并求方的长;（2）求前与屈的夹角.【变式61】（2023秋上海浦东新高三校考期末）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线4C(1)若A8=2,求圆柱的侧面积；(2)设AB与C。是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小.【变式6-2(2023秋山东聊城商二校考阶段练习)如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M,N分别是边。4BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,设瓦5=出OB=btOC=C.(1)试用向量五，b,3表示向量赤;(2)求CoS.【变式6-3(2023春广西南宁高二统考开学考试)已知在平行六面体48Cz)-A1

13、B1C1D1中，48=2,AA1=3,AD=AB=AA1=DAA1=I求向量西与通夹角的余弦值.【题型7利用空间向量基本定理证明垂直问题】【例7】（2023江苏高二专题练习）已知空间四边形OABC中，A0B=1BOC=A0C,JOA=OB=OC,M,N分别是。4,Be的中点，G是MN的中点，求证：OGJ【变式7-1（2023春安徽合肥高二校考开学考试）如图所示，三棱柱ABC-48G中，CA=a,CB=b,（1）用d,b,5表示向量4N；(a,b)=(a,c)=f(,c)=,N是AB中点.（2）在线段Ga上是否存在点M,使4M14N?若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由.【变式7-2（202

14、3秋全国高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.己知：如图，四面体48CD,E,FfG,H,K,M分别为极4B,BCfCD,DAfBD,AC的中点，且IEG1=FH=IKM1求证AB1CD,AC1BD,AD1BC.【变式7-3(2023秋北京顺义高二校考阶段练习)如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-AIBIGD1中，M,N分别在棱Ce1上，且A1M=IA，CN=CC1,RA1AD=A1AB=DAB=60.(1)用向量丽AD,同表示向量而；(2)求证：D,M,Bi,N共面；(3)当需为何值时，AC11A1B.【题型8利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】例8(2023秋福建三明高二统考期末)如图，在四面体ABa中，BAC=60o,BAD=CAD=45,求正丽的值；（2）已知产是线段C。中点，点E满足方=2荏，求线段M的长.【变式81】（2023秋辽宁沈阳高二校联考期末）如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCf）是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3,且NMAB=MAD=60o,N是CM的中点，设d=荏，3=彳5,m=AMf用五、石、F表示向量丽，并求3N的长.M【变式8-2（20