专题11 代数法解决的最值模型(解析版).docx

《专题11 代数法解决的最值模型(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11 代数法解决的最值模型(解析版).docx（10页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、专题U代数法解决的最值模型【例题选讲】例2(7)设尸I，尸2是椭圆E:m+舟=1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则IPBHP尸2的最小值是.答案16解析由椭圆方程可知a=5,c=3,根据椭圆的定义，有IPP2=2-IPR1=IO-IPFih故IPQHPB1=IPQMIO|PQI),由于IPF1Ie。-c,a+c=2,8注意到二次函数y=N10X)的对称轴为x=5,故当x=2tx=8时，都是函数的最小值，即最小值为2x8=16.(8)如图，焦点在X轴上的椭怩1，+$=1的离心率e=J,F,A分别是椭圆的个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则赤信的最大值为答案4解析设P点坐标为(M),yo).由题意知

2、=2,因为e=5=*所以c=1,h2j2v2=2-c2=3.故椭圆方程为彳+丁=1.所以一2WmW2,-3y03.因为F(1,0),-*A(2,0)PF=(-1xo-yo)BA=(2的，-yo)所以PFBA=A-o-2+M=,-o+1=(x0-2)2.即当沏=一2时，而E取得最大值4.(9)在等腰梯形ABCQ中，AB/CDf且A5=2,D=1,CD=2t其中(0,1),以4,8为焦点且过点。的双曲线的离心率为约，以C,。为焦点且过点A的椭圆的离心率为62，若对任意XW(O，1)，不等式f7,4一=5.因为对任意K(0,1),不等式fVeN1+41z+仁恒成立，所以fW小，即f的最大值为.92(

3、10)已知B，尸2分别是双曲线，一方=130,0)的左、右焦点，且IQF2=2,若尸是该双曲线右支上的一点，且满足IPF1I=2俨&|,则面积的最大值是()4-3PFi=2PF2,答案B解析.Xcr.PQ=4mP尸2=2,设/户IPB=仇，cosUPF1IIPF2=24,162+42-45a2-1.o1254-102116=2X4X勿=F-.S2PF1F2=(24tf2sn=16(1-而一)=y一9(一1)2W苧，当且仅当/=J时，等号成立，故S2吊尸2的最大值是*故选B.(11)已知双曲线3-g=1(,b0)的左、右焦点分别为Q，F2,过H且垂直于X轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,A

4、F2,8尸2分别交)，轴于P,。两点，若APQB的周长为16,则备的最大值为.4-3由题意，得A4BF2的周长为32,ABI+归尸2+B=32,.A产2+2护4b2I5bScci2AF2-=4,AB=-t=32-4,=8-2(08),匕H令=+1(10)上任意一点，M是线段P尸上的点，且IPM=2MF1，则直线OM的斜率的最大值为()A亚B2C应D1/3D3I八21答案C解析如图所示，设P(XO,o)(,yoO),则M=2pxo,即即=方.设W“，/)PM=2MF,得尸。=2仁7)y10=2(0/),_+网一3_义-3直线OM的斜率为k=值为坐当且仅当泗=5p时取等号)，故直线OM的斜率的最大

5、(13)抛物线)2=8X的焦点为尸，设A(X1,y),3(x2，”)是抛物线上的两个动点，若乃十及+4=唔AB,则NA尸B的最大值为()ZER至r5n2a.34c,6u-32、h答案D解析由抛物线的定义可得IAQ=+2,8F=X2+2,又+以+4=等H用,得IAfI+8=乎，A8,所以|A8|=(HQ+|8/q).所以CoSNAF8=团巧瑞温妈Z=A2+2-(A+B)2A2+BF2-西瞰312AFBF=2AFBk=811F+AFJ48x2、y一=-而OVNAF8E=4(1+K).所以AgI+1DE1=4(1+9)=4(/+1+1+仆)=8+4(/+/)28+4乂2=16,当且仅当标=5，即k=

6、时,取得等号.故选A.(15)在平面宜角坐标系Xs，中，已知抛物线Cf=4)，点尸是C的准线/上的动点,过点P作C的两条切线，切点分别为A,B,则AAOB面积的最小值为(A. 2B. 2C. 22)D.4答案B解析设Pa0,-1),A(x,y),Bg冲)，又A,8在抛物线上，所以y4,y2=t因为=0,则xX2=-4Z?=4,即b=1,AB=*T+P刈=1+27+x21-4xiX2=+24.J+16,O到直线AB的距离J=,则Suo8=gABJ=x+42,即aAOB的面积的最小值为2,故选B.(16)己知产为抛物线V=X的焦点，点4,B在该抛物线上，且位于X轴的两侧，OAOB=2(其中O为坐标

7、原点)，则AA/O与ABFO面积之和的最小值是.21x2=%,答案；解析法一：设直线x=my-tt4(x,y),8(x2,”)，联立彳1-x=myt=y2-M)1f=O,.y+)*2=m,yi”=f,:点A,8位于X轴两侧，乃”=f0.又OA,。8=总及+a)2=。仍)2+丁1)2=/一/=2,解得r=2或，=1(舍去).：Saafo+Sabfo=5Oy-y2=1y-y2=g,AFO马ABFO面积之和的最小值为坐.法二：设Aa,j),8(X2,J2).VOA-OB=xx2+w2=(y1y2)2+y2=2,y2=-2或y)2=1(舍去).Safo+SFo=yy2=31+yi-2y1y2=y2+t

8、22+42y2+4=2s.【对点训练】21.已知尸I,B分别为椭圆C：+f=1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则分1丽的最大值、最小值分别为()A.9,7B.8,7C.9,8D.17,821 .答案B解析由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F(-1,0),F2(1,0),设E(x,y)(3x3),则济I=(_x,-y),虎=(1-X,-y),所以前1济2=2-+j2=2-1+8-)=f+7,所以当X=O时，后？旎有最小值7,当x=3时，用虎有最大值8,故选B.22 .(2018浙江)已知点P(0,1),椭圆，+y2=M亦1)上两点A,8满足力=2彷，则当m=时,点8横坐标的绝对值最大.ff

9、I-X=2x2,22.答案5解析设Agy),8(X2,”)，由AP=2P8,得，、,八即汨11y=2()-1),=-2x2,y=3j苧+(3-2)2=m,-2y2.因为点A,8在椭圆上，所以J后得=7+不所以忌=W学+货=如(32,2)2=-z2m-J=(/n5)2+44,所以当m=5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.23 .已知点尸I，尸2分别是椭圆条+髭=1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|诟+碇I的最小值是(A. 4)B. 6C.8D.1024 .答案C解析设M(X,加)，F1(-3,0),尸2(3,0).则必K=(一3一3,一用)，碇=(3-Xo,一和)，所以MF+M

10、B=(-2xo,2泗)ryo,因为点M在椭圆上，所以0.vfc16,所以当=16时，|而+宿|取最小值为8.25 .已知点4在椭圆生+方=1上，点P满足AP=1)ifER)(O是坐标原点)，且OAOP=72,则线段OP在X轴上的投影长度的最大值为.24 .答案15解析因为R=(21)而，所以为万=/57,即O,A,P三点共线,，因为市/=72,所以万/=如市F=72,设ACr,y)tOA与X轴正方向的夹角为区线段OP在X轴上的投影长度为|万万IICOS例=2XI=叠%=记上于s_j=15,当104,2-25v1W2且仅当WI=竽时取等号，故所求最大值为15.25 .椭圆3+9=1的左、右焦点分别为E,F2,过椭圆的右焦点B作一条直线/交椭圆于P，0两点，则尸IPQ的内切圆面积的最大值是.26 .答案瑞解析由题意得，直线/的斜率不为0,所以令直线/：X=Wy+1,与椭圆方程联立消去X得(3/+4)y+6/盯一9=0,可设P,y),。(短，J2)则9+力=一藐匚前，W=一蜷M可知SwQ=如尸2切一词=倔方产赤=124瑞案，又靛=1n,故SAFPQ0)截得的弦长为5,直线,经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为(3,0),则MN的最小值为.1y=2-b26.答案2i解析T,=4x