专题14 双曲线标准方程(轨迹)的模型(原卷版).docx

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1、专题14双曲线标准方程（轨迹）的模型3.双曲线标准方程的模型【例题选讲】、2例3（11）（2017全国In）已知双曲线C：，一%=1（。，80）的一条渐近线方程为y=冬,且与椭圆&+号=1有公共焦点，则C的方程为（）A一且=1R_q=1c工_e=iD_汇=A.8o1B.451c54-143一1答案B解析由），=察可得t=坐，.由椭所X=I的焦点为（3,0）,（3,J20）,可得/+/=9,.由可得/=4,b2=5.所以C的方程为一=1故选B.（12）（2016天津）已知双曲线，一W=1（。0,b0）的焦距为2小，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）答案A解析依题意得

2、，又/+=d=5,，联立得。=2,b=1.所求双曲线的方程为-y2=1.v22（13）（2018天津）已知双曲线，一齐=130,历0）的离心率为2,过右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,8两点.设A,4到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和小,且4+4=6,则双曲线的方程为（）A-4=1B-4=1C.号弋=1Df-f=1答案C解析因为双曲线的离心率为2,所以5=2,c=20,b=54,不妨令A（2,3）,BQa,3），双曲线其中一条渐近线方程为y=5X,所以dM=2小；（3）2+（-D22|2小”+342小4+301BX生2小。3,2小+3Wer必=-=-j1-5；依题意得：-+-2H-=

3、6,解得：a=3,b(3)2+(-D2222,2=3,所以双曲线方程为：J=1.、2（14）已知双曲线，一方=1（。0,心0）的右焦点为凡点A在双曲线的渐近线上，AOAF是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（）D.x2-=A.2=1BT2-f=1cy2=1答案D解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=%上)由AAO尸是边长为2的等边三角形得到NAOF=60。，C=IoF1=2.又点A在双曲线的渐近线N=务上，*=tan60o=3.又2+=4,=1,b=小,工双曲线的方程为/一(15)已知双曲线千一方=ISX),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条

4、渐近线相交于A,B,G。四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()a4-T=1b4T=1c44=1d412=1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCo为矩形.双曲线的渐近线方程为产电，圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限，由尸鼠，x2+f=4得XA=V,故四边形ABCo的面积为A=言/=2儿解得=12,故所求的双曲线方程为，一右=1,选D.(16)已知双曲线E的中心为原点，尸(3,0)是E的焦点，过户的直线/与E相交于A,B两点，且AB的中点为N(T2,-15),则E的方程式为()22D.三上54A(M,y),8(22)，答案B解析设双曲线方程为r=1,即从

5、/一“2,2=。26,由b2x-a2y=a2h2ib2xy2-a2y=a2b2得，b2(x1+x2)-a2(y1+二)。=0,U1-x2)又中点N(T2,-15),kAB=kPN,:.-2b2+15a2=0,即4=5a2,b2+a2=9,所以a1=4,Z2=5.【对点训练】20 .已知双曲线，一方=1(0,QO)的焦距为4小，渐近线方程为2)=0,则双曲线的方程为()OOxOxOOr.丫_-A-416=1164=1c1664=1D-M16=1v2221 .（2017天津）已知双曲线，一方=im0,b0）的左焦点为凡离心率为5.若经过户和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的

6、方程为（）A注=1B4-4=1CW=ID/亡=1,441d884884122 .已知双曲线M：，一i=1（aX）,60）与抛物线y=g2有公共焦点尸，尸到M的一条渐近线的距离为小，则双曲线方程为（）Av2上=1B-v2=1c-=1D-=y3J0311.73*1.371v2223 .已知双曲线，一方=1（a0,历0）的左、右焦点分别为B,F2f以F,B为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3,4）,则双曲线的方程为（）2，2z9922A工_E=IR工_汇=1C工一E=IDJE=A-169,B,34,c43,d,916-124 .已知双曲线C：，一W=I的一条渐近线/的倾斜角为?且C的一个焦点到/

7、的距离为3,则双曲线C的方程为（）A.方一;=1B.7-=1C.J-/=1D.2J31j2225 .已知双曲线C：/一R=I（G0,b0）过点（5,3）,且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等-?:X2-1-2-3-29B.1r3-2-x2-2-3D.边三角形，则双曲线C的标准方程是（）=126 .已知双曲线C：4-=1（0,方0）的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点，线段8尸与双曲线C的右支交于点A,若苏=2#,且I前=4,则双曲线。的方程为（）ABJC2一JDdj651S12J84Iu4627 .已知双曲线一/=1(40,QO)的离心率为参过右焦点尸作渐近线的垂线，垂足为M.若AFOM的

8、面积为小，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()28 .已知双曲线中心在原点且一个焦点为尸(小，0),直线y=-I与其相交于M,N两点，2MN中点的横坐标为一？则此双曲线的方程是().AjBJCJD23=,341b431J52Iu25129 .双曲线，一%=1(。，/0)的离心率为，5,左、右焦点分别为F,F2,P为双曲线右支上一点，NFIPF2的角平分线为/,点内关于/的对称点为。，IBQ1=2,则双曲线的方程为()A.2y2=1B.x2-2=1C.f一餐=1D.yy2=14.动点的轨迹方程【方法总结】求动点轨迹方程的六大方法1 .待定系数法；2.直译法；3.定义法；4.代入法；5.参数法；

9、6.交轨法.【例题选讲】例4(17)设点A为圆(x1)2+V=1上的动点，应是圆的切线，且解|=1,则点P的轨迹方程是()A.f=2xB.(-1)2+y2=4C.y1=2xD.(-1)2+V=2答案D解析如图，设PCr,y),圆心为M(1,0),连接M,则且IMA1=1,又.=1,PM=42M2=2,即IPMI2=2,(-1)2=2.(18)设线段AB的两个端点A,B分别在X轴、y轴上滑动，且8=5,痂=泅+,则点M的轨迹方程为()A.5+；=IB.-J=C.=+5=D.5+赛.323答案A解析设M(x,y),A(xo,0),8(0,泗)，由OM=WoA+5OB,得(x,j)=(xo,_5xo

10、-0)+(0,V),贝I卜2解得V5由IAB1=5,得阜)+&)=25,化简得+=1.(19)己知两圆G：-4)2+y2=169,C2：+4)2+j2=%动圆在圆G内部且和圆Ci相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()B-=1答案D解析设圆M的半径为r,则IMGI+MC2=(13r)+(3+r)=168=CC2,所以M的轨迹是以C,Cz为焦点的桶圆，且2a=16,2c=8,所以=8,c=4,b=ya2-c2=43,故所求的轨迹方程为看+需=1.(20)i4BC,JBC1=4,ZXABC的内切圆切BC于。点，BD-cb=22,则顶点A的轨迹方程为.答案J-=1(x2)解析以BC的中点

11、为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E,尸分别为两个切点.则8=BO,ICQ1=Ic7,AE=AF.B-AQ=222).(21)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(5,0),3(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5B.2=9C.菠+=1D.2=16y答案B解析TM到平面内两点A(-5,0),8(5,0)距离之差的绝对值为8,Mv2的轨迹是以A(5,0),8(5,0)为焦点的双曲线，方程为正一=1.A项，直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨

12、迹没有交点，不满足题意；C项，会+1=1的右顶点为(5,0),故椭圆费+5=1与M的轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入可得即产一9y+9=0,.0,满足题意.【对点训练】30 .在aABC中，己知4(2,0),(-2,0),G,M为平面上的两点且满足+h+Gt=O,MA=MB=MC,GM/AB,则顶点C的轨迹为()A.焦点在X轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在X轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在X轴上的抛物线(顶点除外)31 .如图，P是椭圆，+$=13%0)上的任意一点，F1,尸2是它的两个焦点，。为坐标原点，且丽=用1+PF2,则动点。的轨迹方

13、程是32 .已知尸”B分别为椭圆C：，+(=1的左、右焦点，点P是椭圆。上的动点，则4PQB的重心G的轨迹方程为()A.g+27=1(yO)B.+y2=1(yO)C.+3=1(y0)D.+y2=1(y0)33 .已知点P在曲线Zv2P=O上移动,则点A(0,-1)与点P连线的中点的轨迹方程是()A.y2=2xB.j2=8x2C.y=4x2D.j=42+34 .ZXABC的两个顶点为4一4,0),8(4,0),ZA8C的周长为18,则C点轨迹方程为()A.+-=10)B.M+5=1g0)C.汽+=1(y关0)D,+-=1(0)35 .设圆(x+1)2+j2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点，。为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为()4_4_4_4_4_.n宜上耍_a-2125-1b21r251c,2521,1125十21一136.已知圆G：(x+3)2+=1和圆C2：(-3)2+=9,动圆M同时与圆G及圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.