专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.2直线的方程(一)：直线方程的几种形式【八大题型】【人教A版(2019)【题型1直线的点斜式方程及辨析】2【题型2直线的斜截式方程及辨析】2【题型3直线的两点式方程及辨析】5【题型4直线的截距式方程及辨析】6【题型5直线的一般式方程及辨析】8【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】9【题型7求直线的方向向量】11【题型8根据直线的方向向量求直线方程】12【知识点1直线的点斜式、斜截式方程】1 .直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线/经过一点尸(x。,%),斜率为h则方程y-No=Mx冗)叫作直线/的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：已知直线的斜率并且经过一个点

2、时，可以直接使用该公式求直线方程.当己知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示,但因为I上每一个点的横坐标都等于Xi,所以直线方程为X=xi;若直线的倾斜角分90。，则直线的斜率k=tana，直线的方程为y%=(tana)(x-)2 .直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线/的斜率为攵，在y轴上的截距为b,则直线方程为产区+儿这个方程叫作直线/的斜截式方程./a(0,力,OX(2)斜截式方程的使用方法：己知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【题型I直线的点斜式方程及辨析】【例1】(2023春江西九江高二校

3、考期中)过两点(0,3),(2,1)的直线方程为()A.Xy3=0B.%+y-3=0C.%+y+3=0D.Xy+3=0【解题思路】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解.【解答过程】由两点(0,3),(2,1),可得过两点的直线的斜率为A=抬=一1,Z-O又由直线的点斜式方程，可得y-3=-1X(%-0),即+y-3=0.故选：B.【变式1-1(2023上海高二专题练习)过点P(-5,7),倾斜角为135。的直线方程为()A.%y+12=0B.%+y-2=0C.X+y-12=0D.x-y+2=0【解题思路】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.【解答过程】依题意，直线的斜率

4、A=tan135。=-1,所以直线方程为：y-7=-1(x+5),即x+y-2=0.故选：B.【变式1-2(2023秋广东广州高二校考期末)经过点(1,2),且斜率为2的直线方程是()A.2xy=0B.2x+y=0C.x2y+1=0D.x+2y-3=0【解题思路】根据点斜式方程求解即可.【解答过程】解：经过点(1,2),且斜率为2的直线方程是y-2=2(%-1),整理得2x-y=0.故选：A.【变式1-3(2023全国高二专题练习)方程y=ZQ-2)表示()A.通过点(2,0)的所有直线B.通过点(2,0)且不垂直于)，轴的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于X轴的所有直线D.通过点(2,0

5、)且除去X轴的所有直线【解题思路】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.【解答过程】y=(-2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2,0).故选：C.【题型2直线的斜截式方程及辨析】【例2】(2023全国高二专题练习)直线2+y-3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是()A.yJ=1B.y=-2x+32C.y-3=-2（x-0）D.x=y【解题思路】化方程为斜截式即可.【解答过程】直线2xy-3=0用斜截式表示为y=-2x+3,故选：B.【变式2-1（2023秋高二校考课时练习）与直线y=-+2垂直，且在X轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（）.A.y=X+2B.

6、y=X-2C.y=-X+2D.y=-x+4【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率,设出直线方程后再根据横截距确定与X轴的交点坐标,进而求得待定系数力，确定答案.【解答过程】因为所求的直线与直线y=-%+2垂直，所以kx（-1）=-1,得k=1.设所求直线为y=x+b,又因为所求直线在X轴上的截距为2即过点（2,0）,求得b=一2,所以所求直线的斜截式方程为y=x-2,故选：B.【变式2-2（2023秋重庆南岸.高二校考期中）经过点4（2,3）,且倾斜角为:的直线的斜截式方程为（）A. y=%1B.y=X1C.y=-x1D.y=r+1【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜

7、截式可得答案.【解答过程】斜率k=tan3=1,4点斜式方程为y-3=X-2,斜截式方程为y=+1故选：A.【变式2-3（2023秋江西吉安高二校考期中）与直线2%-y-1=0垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）Ay=-x+4B. y=一1+4或y=一1-4C. y=x+4D. 丁=1+4或丫=-4【解题思路】将直线2x-y-I=O化为斜截式方程，可得出斜率k=2,从而得与直线2%-y-1=0垂直的直线斜率，再根据所求直线在y轴上的截距为4,即可得出所求直线的斜截式方程.【解答过程】解：由于直线2%-y-1=0,即y=2x-1,可知斜率k=2,则与直线2x-y-1=。垂直的直线斜

8、率为A=-1,由于所求直线在、轴上的截距为4,则所求直线的斜截式方程是y=-x+4.故选：A.【知识点2直线的两点式、截距式方程】1 .直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线/经过两点Ra,珀，E(X2,%)3M,M%)，则方程之二“1=3j叫作直线/的两点式y一凹Xi方程.(2)两点式方程的使用方法：已知直线上的两个点Ba,M),02(不,必)，且为X2,y此时，可以直接使用该公式求直线方程.当m=x2,y%时，直线方程为X=X1(或X=X2).当眉抖2,凹=乃时，直线方程为N=M(或=力).2 .直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线/在X轴上的截距为处在y轴上

9、的截距为且00,b0t则方程?十会=1叫作直线/的截距式方程.y8(0向1A(a,0)O(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是存0,b0,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：已知直线在X轴上的截距、y轴上的截距，且都不为。时，可以直接使用该公式求直线方程.已知直线在X轴上的截距、y轴上的截距，且都为。时，可设直线方程为产区，利用直线经过的点的坐标求解鼠得到直线方程.【题型3直线的两点式方程及辨析】【例3】（2023全国高三专题练习）已知直线过点G（1,-3）,H（-2,1）,

10、则直线，的方程为（）A.4xy+7=0B.2%3y11=0C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0【解题思路】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【解答过程】由直线的两点式方程可得，直线/的方程为岩=白，P4x+3y+5=0.故选：C.【变式3-1（2023秋浙江温州高二统考期末）过两点4（3,-5）,8（-5,5）的直线在、轴上的截距为（）A.-B.-C.-D.-4455【解题思路】由两点式得出直线方程，令=0,即可解出直线在y轴上的截距.【解答过程】过两点4（3,-5）,B5,5）的直线的为空=E,5+5-53令=0,解得：y=吟故选：A.【变式3-2（2023秋浙江杭州高

11、二校联考期中）已知直线过点G（1,-3）,H（2,1）,则直线I的方程为（）A.4x+y+7=0B.4x-y-7=0C.2x-3yI1=OD.4%-y+7=0【解题思路】直接利用两点式直线方程得当=岩，化简即可.Z-I1+3【解答过程】直线/的两点式方程为：言=得，化简得4%-y-7=0,故选：B.【变式3-3（2023高二课时练习）已知直线/经过（一2,-2）、（2,4）两点，点（1348,m）在直线/上，则加的值为（）A.2023B.2023C.2023D.2024【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.【解答过程】由题意知I不与%,y轴平行，故由直线I的两点式方程可得温W=茄三，解得：

12、=2023,故选：C.【题型4直线的截距式方程及辨析】例4(2023春上海闵行高二校考阶段练习)经过点4(5,2),并且在两坐标轴上的截距相等的直线，有()条A.0B.1C.2D.3【解题思路】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.【解答过程】若直线经过原点，贝IJy=W乃在坐标轴上的截距均为0,符合题意，若截距均不为0,则设直线方程为：+：=13H0),将4(5,2)代入得:+：=1=。=7,此时直线方程为+j,7故选：C.【变式4-1(2023秋吉林高二校联考期末)过点(3,-6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是()A.2x+y=0B.x+y+3=0C.X-y+3=0D.%+y+

13、3=0或2%+y=0【解题思路】由题意，分截距为0或不为0两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.【解答过程】显然，所求直线的斜率存在.当两截距均为0时，设直线方程为y=,将点(3,-6)代入得A=-2,此时直线方程为2+y=0:当两截距均不为。时，设直线方程为:+(=1,(0),将点(3,-6)代入得。=一3,此时直线方程为x+y+3=0.故选：D.【变式4-2(2023全国高二专题练习)若直线I过点4(-2,0),8(0,3),则直线，的方程为()A.3x2y+6=0B.2x3y+6=0C.3x2y6=0D.3x+2y-6=0【解题思路】已知直线/的过点点A(-2,0),8(

14、0,3),可通过直线方程的截距式得出其方程为3x-2y+6=0.【解答过程】由直线/过点A(-2,0),8(0,3),则直线I的方程为2+9=1即3x-2y+6=0.故选：A.【变式43】(2023秋安徽六安高二校考期末)已知直线I过A(-2,1),且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线I的方程是().A. x+2y=0或-y+3=0B. x-y-1=0或-y+3=0C.%-y-1=O或x+y-3=0D.x+2y=0或+y-3=0【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为O时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于O时，即可求解.【解答过程】（1）当坐标轴上的截距都为O时，直线过原点，设直线方程为y=H把点（-2,1）代入求出左=彳，即直线方程为x+2y=O（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于。时，设直线方程为+?=1,aa把点G2,1）代入求出=-3,即直线方程为x-y+3=0综上，直线方程为%+2y=0或%-y+3=0故选：A.【知识点3直线的一般式方程】1 .直线的一般式方程（1）直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于X,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于X,y的二元一次方程AT+8y+C=O（其中A,B不同时为0）叫作直线的一般式方程.对于方程ArB+C=O（,