教程：假设检验（例题驱动认为较好）.docx

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1、7.1 假设检验的基本思想与概念1 .假设检验的基本思想及推理方法对总体x的概率分布或分布参数作某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受或拒绝假设.这样的统计推断过程就是假设检验。例7.L0某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布A（1600,802） o 某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个,测得它们的寿命均值还1548小时。如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡寿命均值 =1600小时？解：已知该天生产的灯泡的寿命X 且。=80,要求检验下面的假设Hq: = 4 = 1600 3 H、： R 手

2、以o称假设名为原假设（或零假设），称假设d为备择假设。假设检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其一：若拒绝原假设”。，则接受备择假设司；否则就接受乩）o为此，我们必须先从样本出发，构造一个合适的检验统计量t与拒绝域W，然后根据样本观测值（为期,作判断：）eW时拒绝原假设儿，接受备择假设；否则（暂时）接受原假设4。我们知道，样本均值又是总体均值的“好”的估计，可以选取文作为检验统计量；根据择假设，拒绝域应该形如W=x-C9其中临界值C由下式确定:PX-0CH0 = a9这里。为给定的显著性水平.由5.4 定理 5.4.1 (2)知,X LI %于是=a9P|X-Z/0|C|/0 = Pu

3、=NQ1)因此.Rf，故,二充附。取显著性水平。=。05,拒绝域为W = |M-4olC二 | 止巴i=1.96I cr0/V 2现在抽样检查的结果是|1548 1600|80/V10 2.06 1.96,即样本观测值落入拒绝域，因此，应当拒绝原假设儿，接受备择假设用，即认为该天生产的灯泡的寿命均值“1600小时。注：（1）假设检验是根据小概率事件的实际不可能性原理来进行推断的。在原假设名成立时，（不孙,Z）wW是小概率事件。若小概率事件竟然发生，我们就有理由怀疑前提假设，从而作出拒绝原假设。的判断。（2）假设检验的结论与选取的显著性水平。有关。上例中，若改取显著性水平。=0.01,则拒绝域变

4、为W = u= I1一出 % “ = 2.58 .此时没有充分理由拒绝原假设“。，即可认为该天生产的灯泡寿命均值 =1600小时.2-假设检验的两类错误总体样，马）卬本（再，2，%）J WH。 H,犯第一类 Y错误7 犯第二类错误（1）第一类错误“拒真”，即原假设名实际是正确的，但却错误地拒绝了4。犯第一类错误的概率为P（X,%2,，x） WI 4）= a ； 第二类错误“受伪”，即原假设”。实际是不正确的，但却错误地接受了几。犯第二类错误的概率记为（七,/，,）金卬14）二犯两类错误的概率当然是越小越好，但当样本容量固定时，不可能同时把都减到很小。3 .显著性假设检验问题Neyman-Pea

5、rson 原则:在控制犯第一类错误的概率。的条件下，寻找检验法则（或拒绝域卬），使得犯第二类错误的概率夕达到最小。基于Neyman-Pearson原则的最优检验不一定存在。如果只控制犯第一类错误的概率。，而不考虑犯第二类错误的概率/，那么寻找拒绝域W只涉及原假设“,而与备择假设回无关，这种统计假设检验问题称为显著性检验问题，此时。又称为检验的显著性水平。4 .显著性假设检验的一般步骤 根据实际问题提出原假设“。与备择假设司，即说明要检验的假设的内容;选取适当的检验统计量t,并在原假设%成立的条件下确定该检验统计量t的分布；（3）根据问题的需要适当选取检验的显著性水平。（一般较小），确定拒绝域W

6、；(4)根据样本观测值计算检验统计量t的值，从而对是否拒绝原假设儿作出判断。例7.1.1某厂在正常情况下生产的合金强度服从正态分布阳a16),其中夕不低于110(Pa)o某天随机抽取25块合金，测得它们的强度均值x = 108 (Pa)。试问当日生产是否正常？(显著性水平a = 0.05)解：已知总体XN(e,16),要检验假设可选取检验统计量在显著性水平a = 0.05下的拒绝域为W = % =1.645。现在抽样检查的结果是II 108-1104/725= -2.5 -1.645即样本观测值落入拒绝域，因此，应当拒绝原假设名,接受备择假设“I,即：在显著性水平。=0.05时可认为当日生产不

7、正常。7.2正态总体参数的假设检验设样本(X|,X2,X)取自总体XN(),样本均值及样本方差分别1.1为斤=1?,，几方(X厂又)2.1=11.关于正态总体均值的假设检验表1检验法原条件假设H。备择假设%检验统计量拒绝域u = o 。o检二验b = b = o )HoN(O,1)N = No kU 4 -UX-a检未知验 二N手以0Ho1)ln (1)ttx_an-X)%一(”1)例1已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。采用新技术后抽查20个,测得电子元件寿命的样本均值3100小时，样本标准差s = 170小时。设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著

8、提高？（取显著性水平oc = 0.01）解：设采用新技术后电子元件的寿命X依题意，要检验的假设是：从=氏=3000 因为未知。，所以应选取检验统计量X t =/厂S/4n ；在显著性水平a = 0.01下的拒绝域为W =1）=/9（19） = 2.54。计算检验统计量1的观测值得:3100-30007170/20氏 2.63o因为a (-1),所以在显著性水平a = 0.01下，拒绝原假设。，接受备择假设即可认为采用新技术后电子元件的平均寿命有显著提高。例2从甲地发送讯号到乙地，甲地发送的真实讯号值为，而乙地收到的讯号值是服从正态分布的随机变量。现甲地重复发送同一讯号9次，乙地收到的讯号平均值

9、为8.15,标准差为0.2,试问乙地是否有理由猜测甲地发送的讯号值为8?如果已知% =0.22,结论又该如何呢？(取显著性水平2=。.05)解 设乙地收到的讯号值XN(g,依题意，要检验的假设是Ho: = 8 : w 8(1)因未知。，故应选取检验统计量X 以。”。/1、t - -( 1)s/ 6；在显著性水平a = 0.05下的拒绝域为W = | 隼1) = 5(8) = 2.306。计算检验统计量，的观测值得:.18.15-81 一年西二 225。因为 wW2=1.96o计算检验统计量的观测值得: 止 3=”1A “222/9比 2.05O因为|1.96,所以在显著性水平二=005下，拒绝

10、原假设4,接受备择假设d,即可认为甲地发送的讯号值不为8。u = : N(O,1),故尸( %) = a ;若因为汽N(O,1),故4。，于是P( =与牛”尸(与*%)=。o 7rl注:假设检验与置信区间的一一对应关系:%时关于正态总体均值的双侧检验问题的（显著性）水平为。的（显著性）检验的接收域为o= x-u一7_02,八十丁la/27 rlyin正是正态总体均值以-Zl-a/2 o X + A ha 127 n的置信水平为的置信区间。2.。未知时关于正态总体均值的双侧检验问题的（显著性）水平为。的（显著性）检验的接收域为= x-w =4|. |= 4a/2（ 1）1y/2（T）（ 1）,区

11、+当心2（-1）正是正态总体7n均值的置信水平为1 -a的置信区间。2 .关于正态总体方差的假设检验例3自动车床加工的某种零件的直径（单位：f）服从正态分布X N（q2）,原来的加工精度/ 4 0 09。经过一段时间后，需要检验是否保持原有加工精度,为此，从该车床加工的零件中抽取30问加工精度是否变差（显著性水平a =0.05）?解：要检验的假设是% : 7 （四舍五入取整）m nFsxIym (m-1) n (一 1)1 .关于两个正态总体方差的假设检验原假备择设名假设小检验统计量拒绝域W2222cy = cr o cy j w o)b： erf22erf b；22历 cr2/_a/2(m-l,n-l)FFx_a(m-l,n-l)F Fam-i.n-V)2 .关于两个正态总体均值的假设检验表4条件原假备择设“假设检验统计量拒绝域W，检验2-2 2 24 4 4W t_a/2(m + n- 2)tt_a(m + n-2)Wa(m + n 2)大样根，从二出41。2充分 Al2 42检验大 Mi 2 2 42