教程：第7讲 参数估计.docx

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1、第七讲参数估计1.点估计（1）矩估计i）当总体仅含一个未知参数0时，即令 X = EX = ，=42）I J xf（x, 9）dx从中解出O=T（X1,X2,，Xn）从而0的矩估计为0 = 7（X，,X）若EX=O,则令1-S2= EX2=h2（0）,从中解出e的矩估计3 = 7（入,X） /=1ii）当总体含有两个未知参数。1,时，即/=Ex=g（q,，2）从方程组中解出0b 01x；=Ex2=g2（ae）几i=l从而求出 01，。2的矩估计a =7；（X,X）,当总体方差DX是熟知的已知形式时，则从中解出0 1, o 2的矩估计。x = ex = g、（a,%）令丁i）s一 二加=心（鼐为

2、）由上可知，对任意的总体分布，若其期望和方差均存在，则（1）样本均值是总体均值u的矩估计。即衣=文（2）5 i）s2 是总体方差。2的矩估计。即 a-2 =（-1）52 =1J2（X _）26x（0-x）八 八例1已知总体X有密度函数 /（尤田=（一下 ox00 其它.其中0为未知参数,X1,X2,Xn,为总体X的一个样本。求0的矩估计量。（2）若3. 5, 4. 2, 5.3, 4.4, 3. 7, 5.8, 3. 9, 4. 8为一组样本观察值，求0的矩估计值。解（1）总体X只有一个未知参数,故考虑用一阶总体原点矩。破4色等为40 U乙令%=-, /. 3 = 2又是0的矩估计。2(2)代

3、入样本观测值，求出样本均值天=1 8-V r =4.4581/=1则3=2又=89即。= 8.9为矩估计值。 _w例2设随机变量X的密度为/(x) = 丁e , -cox4 0x0, 90,且a为已知。设xi, x2 ,心，为来自总体X的一组样本观察值，求。的矩估计量和极大似然估计量。分析：因为a已知，故只有一个未知参数。o于是只须求出E（X）二U （。），再用X代替E（X）得又= （）,解出）即得矩估计量。而求极大似然估计值，只须由旦1门L（）= O解出3即可。dO解 E(X) = VxOaxedx l=x JoJo CfJo解得d“ eJoL Liayae ydy = O aF(bl)a八

4、1X = e ap( + 1)a为o的矩估计量。又似然函数为，i-6y xfe)=口/,e)=nOaxx=。(口七)7 f/=1i=l/=!In L(0) = lne + lna + (a-l)ln(PJ七)xf-什。得e的极大似然估计量为 G = 丁“一例2设总体X服从（0,6 （0 v e v +8）上的均匀分布,其概率密度为（夕未知）0其它设X”X”,X,为来自此总体的样本，求夕的极大似然估计3。解似然函数乙（9）=立/（七,9）=.r=lOn00 maxx. 00i（）时无解,dO所以无法由该方程解出极大似然估计0,en在。0时为单调递减函数，e越小L越大,onA = minXJ,0心

5、例如总体密度为fM=00 其它0为未知参数0的取值范围是是8,minxi, X2,xj,则9的极大似然估计为 = minX.0in1例3设总体X的概率分布为XS 20(1-0)2o2另一方面夕的取值范围为匹嗯警上,+8），故当3 =思雪七时,L（3） = max L（0）.所以夕的极大似然估计为0 = maxXJoo（区由此例可以看此当用求导法求极大似然估计失效时，并不是极大似然估计不存在，而是需用定义来求。那么有什么规律可循呢？一般地，对Xi, X2,，Xn,样本来说，当o的取值范围是。 maxxi, X2,Xn,+8时,似然函数才有可能达到极大，则0的极大似然估计为 J=maxX当。 （-

6、8, minxi, X2,，Xn时，则0的极大似然估计为1,2, 3是容量为8的样本值。求0的其中0 （001300)为1 一中(目)，a极大似然估计值为P(X 1300) = 1_(13。晨:7.1)= 0 008例5某地发生特大自然灾害的次数X服从参数是X的泊松分布，入未知。xi, X2,X”为所调查的数据，试估计一下该地不发生特大自然灾害的概率？解依题意，该地不发生特大自然灾害的概率为e = p（x =o）=/ =6一”0!人的极大似然估计值为五,由极大似然估计的不变性得3 = ei = e点估计的优良性(i)无偏性设夕是。的估计量，E = e,则称e是0的无偏估计量，反之称为有偏估计量

7、。鬻警箕前：样本均值又总是总体均值的无偏估计量，样本方差S2总是总体方差的人牺1白寸里学头上_1 nEX = E（-YXi）=-YEXi = EX=pn i=ln /=1；_1_1 n2日亚凶）-阻右）=+2（7+心”,为未知例1设总体X服从参数为p的0-1分布，即xi, X%,X”,为一组观察值，证明T = X25是p2的无偏估计量。n-1_其中为=志三-/解； X :.EX = p, DX = pQ - p)EX2 =DX+ (EX)2 = + (EX)2 = P )+ p2nnEB, = FI-VCX,.- X)2 = E( W = ( Dp P)- n /=Inn：.ET= EX2 -

8、EB. =+ p2 (Z?-|)/;(l/)二 p2n-nn n一.1T=X2 自是江的无偏估计量。例2从总体X中抽取样本XI,X2,Xn,确定常数c的值，使得d? =cZ（Xm-Xj）2是总体方差。2的无偏估计量。/=1解 设 EX= u , Yi=Xi- 口,一1,I62 =( Xr )一( X, /)=石匕讨一匕2;=1/=|,2-1=CZ石匕 j _ 2石（匕+J） + 石匕2 = 2c5 -l）a2i=l当 = ! 时，S是总体方差。2的无偏估计量。2（-1）（ii）有效性设=（冬，,*）和包=包（区，,乂）是0的两个无偏估计量，若D6X D62,则称比a有效。例3设总体X在0, 0

9、上服从均匀分布,X1,X2,Xn,是样本，证明人 人 T- 14=2X 和a=-maxXJ都是0的无偏估计量，问哪一个更有效?解因为EX=0/2,故E6X = E(2X) = 2EX =2x0/2 = 0人77 +1n +1E% = (max X,)=E(max X J)令Y = max Xz.,注意到Y的密度函数为力(y) = J万00 y0其它o于是EY加叱品。人 +1八八所以有eo2= ey=g9即a和e2都是e的无偏估计。r J D = D(2X) = 4D(X) = 4 乂n4 e2 02n 12 3nDO, = D(Z!ly)=5+J)= 5+J)2 石p 一(石厅nrTEY207-2,DY = EY2-(EY)2 =-e2-(-)202故 + 2 +1DO. =5 + l)2 = 5 + l)2 /_ (/)2夕2 =_岂_ nn 714-2 n + 1n(n + 2)11八11八由于一；,因此。(。)0 (i=l,2,n)满足