列一元二次方程解应用题的一般步骤.docx

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1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。举例如下：一、数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。例1,一个两数，十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736,求原来的两位数。等量关系：新的两位数X原

2、来的两位数解:由题意得：10x+(5-x)10(5-x)+x=736解得：x1=2,x2=3即两位数为23或32二、几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。例2：己知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。通常用勾股定理列出方程，求解。解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4(n为偶数)，根据题意得n2+(n+2)2=(n+4)2解得：n=6，三边长为6、8、10,面积为24。三、增长率问题此类问题中一般有变化前的基础(a),增长率(x),变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式a(1+x)n

3、=b表示这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为X,根据题意得2(1+x)+2(1+x)2=12解得：x1=1x2=4(舍去)即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。四、估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。例4：读诗词解题列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数。十位恪小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少

4、年华属周瑜？分析：由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。解，设周瑜去世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为(x-3)o依题意得x2=10(x-3)+xx2-11x+30=0由题意可知：x-3在3,4之间选择，则X为6或7。当x=6时，年龄为36,符合“个位平方与寿符”。当x=7时，年龄为47,不符合题意。故周瑜去世时年龄为36岁。五、买卖问题这类问题要考虑购买物品的数量与价格例5：小王从店买回一块矩形铁皮，他将矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为Im的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个窖为15m3的无盖长方体箱子,且此箱子底面长比多2m,现已知购买这种铁皮每玉米需20元钱。问小

5、王购回这块矩形铁皮花了多少钱？本题的展开图是矩形，其实质是先求展开图面积。解：设这种无盖箱子底部宽为xm,则长为(x2)m,依题意得x(x1)1=15解得：x1=3,x2=-5(舍去)面积为：(5+2)(3+2)=35(m2)做一个这样的箱子要花3520=700元钱。六、方案设计问题这类问题常规根据题中的条件，联想应用相关知识计算，对结果与实际要求，已知法则、定理对照作出判断。例6：如图有长为24m的篱笆，一面用墙(墙的最大可用长度a为10米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。(1)如果花圃的面积为42m2,求花圃的宽AB的长。(2)花圃的面积能围成45m2吗？如果能，请求出这时花圃的宽AB

6、的长，若不能，请说明理由。(3)花圃的面积能围成48m2吗？若不能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，说明理由。解:设宽AB=Xm,则BC=(24-3x)m,依题意得(1) X(24-3x)=42o解得x1=4+2,x2=4-2当x=4-2时，BC=24-3(4-2)=12+32(不合题意。舍去)AAB=(4+2)m(2) X(24-3x)=45,解得x1=5,x2=3当x=3时,BC=24-33=1510(舍去)AB=5m(3) X(24-3x)=48,解得x1=x2=4此时BC=24-3x=1210,舍去，故不能围成总之，列一元二次方程应用题作为初中数学的考点，要求学生能熟练掌握以上方法

7、仅供交流。例1b比a增加了20%,则b是a的多少？a又是b的多少呢？解析：可根据方程的思想列式得a（1+20%）=b,所以b是a的1.2倍。AZb=1/1.2=5/6,所以a是b的5/6。例2养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼？A.200B.4000C.5000D.6000（2004年中央B类真题）解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5=X/200,解得X=4000,选择B。例32001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%,而每台的价格比上一年度下降了20%o如果2001

8、年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少？A.2900万元B.3000万元C.3100万元D.3300万元（2003年中央A类真题）解析：方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X,每台的价格为Y,显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%),也即3000万=0.96XY,显然XY3100o答案为C。特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X,求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X,求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1XO但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简

9、化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%,每台的价格比上一年度下降了20%,因为销售额=销售台数X每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%,因而2001年是2000年的1(20%)=0.96,2001年的销售额为3000万,则2000年销售额为30000.963100o例4生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件,其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件？A.15B.25C.35D.40(2003年中央A类真题)解析：这是一道涉及容斥关系(本书后面会有专题

10、讲解)的比例问题。根据已知大号白二10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件；大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件；此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力）大号白二10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件；小号白二15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件；所以，答案为C。例5某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%;低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元？A.2B.2.75C.3D.4.5（2003年中央

11、A类真题）解析：这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。奖金应为1010%+（20-10）7.5%+（40-20）5%=2.75所以，答案为B。例5某校在原有基础（学生700人,教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1,问学生人数最多能增加百分之几？A.7%B.8%C.10.3%D.115%(2003年中央A类真题)解析：根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到(300+75)X2=750人，学生人数增加的比列则为(750-700)7007.1%所以，选择A。例6某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个

12、部分。若年利润必须按P%纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为A.40%B.25%C.12%D.10%(2004年江苏真题)解析：选用方程法。根据题意列式如下：(1000-500-200)XP%+(200-10002%)P%=120即480P%=120P%=25%所以，答案为B。例7甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出放人乙盒，再从乙盒取出放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗？A.40颗B.48颗60颗C.52颗（2004年浙江真题）答案B解析此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如

13、下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆推法更快捷。例8甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%,问乙每小时加工多少个零件？A.30个B.35个C.40个D.45个（2002年A类真题）解析：选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工13X个零件，并可列方程如下：（1+1.3X）X8=736X=40所以，选择C。例9已知甲的12%为13,乙的13%为14,丙的14%为15,丁的15%为16,则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：A.甲B.乙C.丙D.丁（2001年中央真题）解析:显然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；T=1615%,显然最

14、大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=1312%1615%1,所以，甲乙丙丁，选择A。例10某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%,用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%,那么，总预算费用是：A.18000元B.20000元C.25000元D.30000元（2001年中央真题）解析：设总预算为X,则可列议程为，25%X=6000（1+20%）,解得X=20000所以，答案为B。例11一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：A.490元B.500元C.520元D.560元（2

15、001年中央真题）解析：连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下：a=ca表示涨（降）价前的价格；b表示涨（降）价的百分比；C表示涨（降）价后的价格；n连续涨（降）价的年数。如果设原价为X,那么由以上公式可列如下方程：X=405,解得X=500所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。例12某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%,那么，1999年的产值与1998年相比：A.降低了5%B.提高了5%C.提高了20%D.提高了25%（2001年中央真题）解析：此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a,1999年的产值为b,则根据题意事列方程，a25%=b20%,则1999年的产值与1998年的比=ba=25%20%=1.25,也即1999年的产值比1998年提高了25%o所以，答案为D。例13某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是A.4950元B.4990元C.5000元D.5010元（2000年中央真题）解析，采用方程法即可，设电脑原来定价是X,则可列方程为XX（