2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-2空间向量基本定理 学案.docx

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1、1.2空间向量基本定理学习任务核心素养1 .了解空间向量基本定理及其意义.2 .掌握空间向量的正交分解.（难点）3 .会用基底表示空间向量.（重点）4 .初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.（难点）1 .通过基底概念的学习，培养数学抽象素养.2 .通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.必备知识-情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知【情境与问题】在平面内，任意给定两个不共线的向量26,根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量P存在唯一的有序实数对（x,力，使得P=%a+j力.特别地，当a,b为直角坐标平面内的向量时，向量P

2、就与坐标（M。建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便.那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b,C是空间三个不共面的向量，。是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b、C来表示向量p?b知识点1空间向量基本定理如果三个向量a,A。不共面，那么对任意一个空间向量P存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得D=xa+yb-zc.其中S,b,c叫做空间的一个基底,a,b,。都叫做基向量.思考，对于基底仿，b,c,三个基向量ab,。中能否有一个为0?提示二因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基

3、向量均不为0提醒M1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.(2)一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.体验思考辨析(正确的打错误的打“X”)(1)空间向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,C是空间向量的一个基底，则a,b,C均为非零向量.()已知4HMN是空间四点，若诙，血诙不能构成空间的一个基底，则4属必N共面.()(4)若6,b,c是空间的一个基底，且存在实数X,y,Z使得xa+j必+zc=O,则有X=y=z=0.()提示(1)X任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底.(2) 若b,C中有一个零向量，则a,b,C三向量共面

4、不能构成基底.(3) BA,而不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点6,因此4H机/V四点共面.(4) a,b,C不共面，则必有X=y=z=0.体验)2在长方体力“45G中，可以作为空间向量一个基底的是()A.MACtADB.诵AAxi法C. DiAi,DC,DiDD. AC94C,CCC在长方体力M中，只有C中的三个向量万,万Z,万万不共面，可以作为空间向量的一个基底.体验颗3.在平行六面体力比a484中，汹是上底面对角线IC与曲的交点，若通=a,M=b,A1A=c,则尻何表示为()A.%+，+CB.5一，+cC.a-cD.D由于尻M=笈8+BM=BB+3(BA+Bo=c.知识点

5、2空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用九j,&表示.(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量4均可以分解为三个向量犬九yj，zk,使得6=M+zAt.像这样，把一个空间向量分解为三个西西垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.体验财.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)空间的单位正交基底是唯一的.()(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量.()(3)对于单位正交基底九j,4,2J=0+2J+02()提示(I)X不唯一.(2) 由单位正交基底的定义可知正确.(3) 由向

6、量正交分解知正确.关健能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成 类型1空间的基底【例1】匕，&,eJ是空间的一个基底，且赤=e+2e-a,游=-3e+a+2e,OC=&+色一机，试判断7，应)能否作为空间的一个基底.解假设而，OB,应共面，由向量共面的充要条件知，存在实数y,使5=场+近成立，a2ft-e即ei+2e-e.,1,AN=AA,+A,1=AA+(A,B,+4C)=AAt+3(48+力0=6+gb+gc.母题探究若把本例中iiAA,=H改为=H,其他条件不变，则结果是什么？解因为为初的中点，N为FC的中点，-A-A-A所以4仁5(48+4。)乙=AN=ABi+AC)+ACf)=j6

7、?+y=1+CAC)16思领悟基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.跟进训练3 .如图，四棱锥?。IBC的底面为一矩形，RI1平面048a设而=a,OC=b,OP=C,E,产分别是FC,阳的中点，试用&b,C表示赤；诙法，EF.1-1-1111解连接EO(图略)，则跖=中勺5(8升明=5(c6a)=一乎一射+莪.乙乙乙乙乙乙BE=BC+CE=BC-CP=i96,C0-OP)-ab-Yc.AE=AP+PE=A

8、0-P0+0C)=a+c+g(-c+b)=a+gb+；c.-IfIf1EF=CB=0A-a.口类型3空间向量基本定理的应用【例3】在棱长为2的正方体力凡48G4中，E,产分别是加，加的中点，点G在棱勿上，&CG=WCD.(1)证明：EFI&C：(2)求原与GG所成角的余弦值.解(1)证明：设。4=DC=j,DI=k,则九j,好构成空间的一个正交基底.所以EF=E叶DF=-也+；(加+A协=%+%，&C=BB+BC=-ik,所以EF后C=&+:/#(-1A)=-12+Ar=0,所以EF1BC.-I11fff1EF=Si+点一戏,aG=GC-CG=-k-J,乙乙乙O麻2=+%404#+MCn=3,

9、1=3,IM2=(-k-j=I2+1J-4=pI询I=乎,4Oy77zJ_3_/3023015,3母题探究本例中设线段44的中点为也证明：初吻解设法=力Xc=j,血=k,则就=曲+应=一1一比赤=防一石/=R4-&H=_/_=T(TT)=)4所以MF反C.思领悟基向量法解决平行、垂直及夹角问题首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角).跟进训练4 .如图，在平行六面体力发HBY。中,E,F,G分别是D,DD,D,C的中

10、点，请选择恰当的基底向量证明:(I)EGAC；（2）平面瓯平面4TC.证明取基底4不，应办-A-A11-(1)因为6=切，+ZTG=VZH8,AC=AB+AD=2EG,所以丘元；又EG,4C无公共点，所以G4C.因为而=历+07*G=AAi+步无ABi=AB-AA1=2而所以而Mi,又FG,AB无公共点，所以FGABr.又依平面4?C,ABU平面力9C,所以a1平面力8C.又由（1）知比4G可得跖平面力8C,又FGCEG=G,FG,版平面分&所以平面跖6平面力8C,学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .在正方体力比24兄G”中，可以作为空间向量的一个基底的是（）A.AB,AC,A

11、DB.AB,AA,ABiC.DA,DCDDD.ACiACCCC只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选C.2 .（多选题）在空间四点，爪B,。中，若洒，汨是空间的一个基底，则下列命题正确的是（）A. 0,4B,C四点不共线B. 0,4B,C四点共面，但不共线C. 0,AfB,C四点不共面D. 0,4,。四点中任意三点不共线ACD选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量茄，OBf应共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则而，港应共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则而，凝应构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量而，港应构不成基底，故选ACD.3 .正方体中，取瀛，崩，就为基底，若G为平面SCGS的中心，且Z=xAB+yAD-ZAA1,则x+y+z=J-A1-1