2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-1椭圆3-1-1椭圆及其标准方程 学案.docx

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1、3.1椭圆学习任务3.1.1椭圆及其标准方程核心素养必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知1 .理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.（重点）2 .掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.（重点）3 .理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.（难点）1 .通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养.2 .借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.情境与问题:我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影（如图所示）等.那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？知识点1椭圆的定义（1）定义：把

2、平面内与两个定点,用的距离的和等于常数（大于;用引）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.（2）几何表示：珈I+；跖I=（常数）且2统IAKI.思考机.（1）椭圆定义中将“大于|国”改为“等于I用引”，其他条件不变，点的轨迹是什么？（2）椭圆定义中将“大于改为“小于I内周”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？提示(1)点的轨迹是线段内儿当距离之和小于出用时，动点的轨迹不存在.体验1下列说法中，正确的是()A.到点做一3,0),M3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点,眼0,3),MO,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到

3、点做一3,0),(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D.到点(0,-3),M0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C由椭圆的定义知，C正确.知识点2椭圆的标准方程焦点在轴上焦点在y轴上标准方程22=1(ab0)ab22?+今=1(ab0)焦点(-c,0)与(c,0)(0,-C)与(0,C)a,b,。的关系思考02.能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？提示二能.椭圆的焦点在X轴上台标准方程中含六项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上台标准方程中含/项的分母较大.体验2(1)若椭圆方程为历+瓶=1,则其焦点在轴上，焦点坐标为(2)若椭圆的焦距为6,6=1,则椭圆的标准方程为_(Dx(2,0)和(一2

4、,0)(2)=1或(+*=1(1)因为106,所以焦点在XZoIoZoIb轴上，且=o,S=6,所以02=io-6=4,C=2,故焦点坐标为(2,0)和(一2,0).(2)椭圆的焦距为6,.c=3,a=C=9.又ab=T,，a=5,b=4.椭圆的标准方程为今+今=1或/+=1ZO10ZO10疑难问题解惑学科素养形成关健能力合作探究释疑难类型1求椭圆的标准方程【例1】(对接教材巴。7例题)求适合下列条件的椭圆的标准方程.椭圆焦点在X轴上，a：b=2：1,C=6;两个焦点的坐标分别是(O,-2),(0,2),并且椭圆经过点V(3)经过点,j,40，j.解(1)Vc=6,a2-2=c2=6.又由a：

5、b=2：1得a=26,代入得4炉Z=6,：.R=2,a2=8.又椭圆的焦点在X轴上，22椭圆的标准方程为5+5=1.OZ因为椭圆的焦点在y轴上，22所以设它的标准方程为4+*=1Q力0).aD法一：由椭圆的定义知，即a=0,又c=2,所以炉=/一3=6,所以所求椭圆的标准方程为磊+4=1.IUO,35、9RQ法二：因为所求椭圆经过点(一5,可，所以行+踵=1又?=#。2=4,可解得82=0,/2=6所以椭圆的标准方程为磊+5=1法一：当椭圆焦点在才轴上时，可设椭圆的标准方程为W+bO,知不合题意，故舍去；当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为二2=1(a60).aD依题意,1,解得21，2

6、2所以所求椭圆的标准方程为1.45法二：设椭圆的方程为勿/+=(卬0,70,n).m=5,/7=4.C111-m+-n=f1二/2=1,U所以所求椭圆的方程为5?+4/=1,故椭圆的标准方程为,+9=1.451泼现规律试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤.提示(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在X轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.2222(2)设方程：根据上述判断设方程2+=1(a抗0)或*+4=1(&b0)或整式形式abDamxjy=1(zO,/?0,m).(3)找关系：根据已知条件建立关于a,b,c(或如)的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为

7、所求.J跟进训练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2,-2),J阴(2)过点(木,一邓),且与椭圆卷=1有相同的焦点.解(1)设椭圆的方程为mx-ny=1(r0,0,mn).将两点(2,-2),(一1,明代入，(4z+2=17=,14解得Vm-n=1,14Qr所以所求椭圆的标准方程为!+J=1.OZt22(2)因为所求椭圆与椭圆5+9=1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且1=259=16.设它的标准方程为22+=1(abQ).因为3=16,且/=#一炉，故/一炉=16.又点(乖，一南)在椭圆上，所以一y+*=1即摄+称=122由得炉=4,才=20,所以所求椭圆的标准方程为/+

8、3=1.类型2对椭圆标准方程的理解【例2】(1)若方程=+二=1表示椭圆，则实数勿的取值范围是()25加0+9A.(-9,25)B.(-9,8)U(8,25)C.(8,25)D.(8,+)(2)(2023湖北八校联考)椭圆8AV-V=8的一个焦点坐标为(0,7),则女的值为(I)B(2)1或一3KD依题意有25勿0,0,、历+9#25/，解得一9水8或8水25,即实数加的取值范围是(一9,8)U(8,25),故选B.(2)原方程可化为f+4=1.Io1k则k7O,其表率焦点在P轴上的椭圆的条件是ni0.(2)若给出椭圆方程V+如=a则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式彳+A-1,再研究其

9、焦点的位置等情况.跟进训练222.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是.22(-4,0)U(0,3)方程化为当+=1,aa依题意应有12给才0,解得一4水0或(K水3.口类型3椭圆的定义及其应用【例3】(1)已知力肉的顶点8,C在椭圆J+=1上，顶点力是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在交边上，则的周长是()A.23B.6C.43D.1222己知椭圆3+5=1,点尸是椭圆上一点，R,凡是椭圆的焦点，且/依=120,则阳K的面积为.(I)C芈KD设另一焦点为E由点尸在比边上，所以比的周长7=46+8C+0=AB+BF+CF-CA=23+23=43.22.(2)由+5=1,可知a

10、=2,b=y,所以C=巾，-Z=I,从而；AR1=2c=2.在在中，由余弦定理得I阳12=I除12+I段221所I1EIcos/PFM,即|附|2=|依r+4+2依.由椭圆定义得I依1+1如1=2a=4.由联立可得“I=%所以S=:|阳I1EK1SinMK=Jxgx2X半/ZoZoXPFR母题探究1.本例(2)中，把N依=120”改为“/阳K=90”，求出的面积.解由椭圆方程+卷=1,知a=2,C=It由椭圆定义，得PF+PF1=2a=4,qo且IEE1=2,在历月中，Zffi=90o.y2=2+2.从而(4一|用M=I阳广+4,7W1JIffiI=2j1 Q因此S=&I阳|=亍阳E3故所求阳

11、月的面积为2 22.本例(2)中方程改为当+方=1MOO),且“N/Y冶=120。”改为“N/V汽=ab120”,若用E的面积为小，求6的值.解由NG=I20,阳K的面积为1可得5mII抬IsinE%=牛PFx=3,：.PFAV=4.根据椭圆的定义可得I加I+：9=2a再利用余弦定理可得4。2=|如+!阴广一2|阳I阴ICoSI20=(|阳|+|帆|丁一|阳|桃=4a-4,：.6=、即b=1.厂JS思领悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点尸与椭圆的两个焦点石，月构成的依K称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面

12、积公式等知识求解.IJ跟进训练223.已知母其为椭圆w+看=1的两个焦点，过内的直线交椭圆于儿两点.若ZoyI尼4|+|人引=12,则AB=.(2)椭圆方程为3+(=1,R,为椭圆的焦点，户是椭圆上一点,若S=5,则RP&4FPFi=.(1)8(2)60o(I)由直线加过椭圆的一个焦点R,知I明=E4+FxBt所以在氏仍中，I尼4+K8+47=4a=20,又34+K6=12,所以I阴=8.(2)由已知得a=2,b=ytc=1t设|阳I=/，PB=n,4FPA=a,(T7=4,I72-277COSO=4,(2)77sina=3,2一得勿(1+cos。)=6,1+cos6得Sina3,Ca2cos

13、-即7=25,sin-cos-.+卫亚*tan3y=30o,。=60。，即NE%=60.口类型4与椭圆有关的轨迹问题【例4】（1）如图所示，已知动圆户过定点力（-3,0）,并且在定圆房（彳-3）?+/=64的内部与其内切，则动圆圆心的轨迹方程为（2）己知在平面直角坐标系中,动点4到定点（一5,0）的距离与它到定直线hx=的距离之比为常数好.求动点的轨迹/、的方程；设点1，9,若尸是中轨迹上的动点，求线段四的中点6的轨迹方程.尝试与发现求动点的轨迹方程有哪些方法？根据动点满足的条件，思考该选用哪种方法求解.22(1)7=1设动圆尸和定圆6内切于点M,Io7动圆圆心尸到两定点4(3,0)和8(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即I为+1阳=|掰+|即=IM=8|四I,所以动圆圆心。的轨迹是以48为左、右焦点的椭圆，其中c=3,3=4,