2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-3抛物线3-3-2第2课时抛物线的方程及性质的应用 学案.docx

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1、第2课时抛物线的方程及性质的应用必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知学习任务核心素养1 .会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题.（重点）2 .能解决一些与抛物线有关的综合问题.（难点）通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算素养.情境与问题:一条斜率为A的直线/过抛物线产=2PXS0）的焦点用交抛物线于4（小,%）,B（X两点，则|4剧=乂+及+0，类似的你还能得到其他结论吗？知识点与抛物线有关的焦点弦的相关结论过抛物线/=2（00）的焦点Z7的一条直线与它交于两点力（小，兄，B（x2,，则C2PQZn度=一/，汨兹=i；AB=汨+照+0=sjWq（a为直线16的倾

2、斜角）；C112砂满十两=彳SQDP（为直线48的倾斜角）；2sna以/厉为直径的圆必与准线）相切.112思考a你能证明可+砺=这个结论吗？提示（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为X=1由F5得=02.Jz=夕.Iy=2P%从而I朋=I明=p；所以TM+9T=B（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为尸由bG/得德（芥+2）肝竽=。,Iy=20筋即而十两=G（体/）直线,过抛物线V=4y的焦点E与抛物线交于4B两点,若|朋=6,则|朋5由诉f+M=%得W+/i解得I明=|.关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养形成类型1和抛物线有关的轨迹问题【例1】设点尸（My）20）为平面直角坐标系。

3、杖内的一个动点（其中。为坐标原点）,点尸到定点0,J）的距离比点到X轴的距离大看（1）求点2的轨迹方程；若直线/：尸Ax+1与点尸的轨迹相交于48两点，且I形=2m，求实数A的值.解（1）法一：（直接法）过点尸作X轴的垂线且垂足为点M则IZW1=必由题意知|用力，、/+（尸）=六序化简得f=2y.故点P的轨迹方程为=2y.法二：(定义法)由题意知，点尸到定点40,，与直线y=-T的距离相等，则点尸的轨迹是以点时为焦点，以直线J=一为准线的抛物线，且0=1.点P的轨迹方程为x=t1y.y=k-,9由题意设力(汨，必)，Mx2,2),联立.，消去y化简得义一2履一2=0,5=2%汨+兹=2，XIX

4、2=-2*.*AB=y1,.汨+在24x=1A4-8=26,.:+34=0,又0,：接=1,.A=+1.1 辰思领悟1求与抛物线有关的轨迹方程的方法及步骤(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；(2)步骤：建系一一建立适当的坐标系；设点设轨迹上的任一点尸(筋y)；列式列出动点尸所满足的关系式；代换一一依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为X,y的方程式，并化简；证明一一证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.跟进训练1 .若动圆也与圆G52)M=外切，又与直线+=o相切，求动圆圆心的轨迹方程.解设动圆圆心为W(筋半径为必由已知可得定圆圆心为C(2,0),半径11因为

5、两圆外切，所以4加1=+1.又动圆也与已知直线x+1=0相切，所以圆心,V到直线x+1=0的距离d=R.所以J0=d+1即动点J/到定点。(2,0)的距离等于它到定直线x+2=0的距离.由抛物线的定义可知，点V的轨迹是以。为焦点，x+2=0为准线的抛物线，且苴=2,夕=4,故其方程为y=8.口类型2与抛物线弦的中点有关的问题【例2】（1）已知直线/与抛物线y=8X交于儿8两点,且/经过抛物线的焦点Q1点的坐标为（8,8）,则线段49的中点到准线的距离是（）,2525c25CC1A.B.-C.D.254Zo（2）过点0（4,1）作抛物线产=8X的弦48,恰被点0所平分，求4?所在直线的方程.尝试

6、与发现类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？（I）A由题意知，抛物线的焦点坐标为（2,0）,直线/过焦点E所以1=W=*口乙J4所以直线1的方程为y=1（-2）.由y=8xt得8点的坐标为&一2）.195所以I阳=I朋+I阴=2+8+2+=5.95所以43的中点到准线的距离为彳，故选A.（2）解法一：（点差法）设以0为中点的弦48的端点坐标为4（田，珀，庾曲幻，则有*=8x,正=8如；Cn+（%刑）=8（汨一才2）.又%+%=2,，与一现=4（汨一2）,即一4,k,n4.X-X2力8所在直线的方程为尸1=4（入-4）,即4-y-15=0.法二：（传统法）由题意知4

7、8所在直线斜率存在，设力（小，力），6（x2,%）,弦4?所在直线的方程为y=W-4）+1y=8x,2联立,一消去X,得V-8y-32A+8=0,y=依-4+1,此方程的两根就是线段端点48两点的纵坐标.O由根与系数的关系得弘+刑=*又力+及=2,.4=4.8所在直线的方程为4-y-15=0.1JS思领悟“中点弦”问题的解决方法将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差，由人手妥求斜率,再由点斜式写出直线方程设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去“(或)得关于y(或外的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率，进而可写出立线方程跟进训练2.已知抛物线C的顶

8、点在坐标原点，焦点为R1,0).直线/与抛物线C相交于4B两点，若4?的中点为(2,2),则抛物线的方程为，直线)的方程为=4-7=0由题意知抛物线的方程为y=4/，设直线/与抛物线C的交点为加小，凶)，B(x2,%),K=4m,ji=4x2f且XX2f两式相减得，y?y2=4-a2),因为46的中点为(2,2),所以y+%=4,所以力=X-24不彳=1,所以直线/的方程为y-2=x2,即丫一尸0.I1类型3与抛物线有关的综合问题【例3】已知动圆经过定点。(1,0),且与直线户一1相切，设动圆圆心的轨迹为曲线U(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线人分别与曲线C交于儿B两点,直线

9、人人的斜率存在,且倾斜角互补.证明：直线价的斜率为定值.解(i),动圆经过定点(1,0),且与直线)=-1相切，,C到点(1,0)的距离等于到直线/=-1的距离，的轨迹是以(1,0)为焦点，以直线/二一1为准线的抛物线.曲线C的方程为=4x(2)证明：设直线A的方程为j=H-1)+2.直线4,人的斜率存在，且倾斜角互补，72的方程为y=-H-1)+2.联立得方程组,y=r-1+2,y=4x,消元得Ar2X2-（2发一4+4）*+（Ar2）2=0.设力(小，y)则小=k-22A2-4A+41=-1-+44+4同理，设以照，度)，可得照=-712A2+8Sk-8M+Xi=，X-Xi=-=女,y-y

10、2=A（,i-1）+24（加-1）2o12_i_oo=（汨+E）-2k=k彳2Ar=-.k,（弘一夕X1X21.直线/18的斜率为定值一1厂JS思领悟定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值.(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法：通过方程判断；对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值；转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.跟进训练3.已知抛物线的方程是=4x,直线/交抛物线于48两点，设力(汨，必)，庾如y2).(1)若弦4

11、8的中点为(3,3),求直线/的方程；(2)若My2=12,求证：直线)过定点.解(1)因为抛物线的方程为=4x,则有=4汨,捞=4处因为弦力8的中点为(3,3),所以XiWX2两式相减得yy=x-1所以y-y42x-yij392所以直线/的方程为y3=w(13),即尸p+1.证明：当/的斜率存在时，设，的方程为y=Ax+6,代入抛物线方程，整理，得4b4y+4Z?=0,7i=-=-12,b=-3k,K1的方程为y=k-3k=k(-3),过定点(3,0).当/的斜率不存在时，12,则加=照=3,/过定点(3,0).综上，/过定点(3,0).一学习效果，课堂评估夯基础*课堂知识检测小结问题点评1

12、.(多选题)已知抛物线GJ=3的焦点为E4(照，是C上一点，且|朋=2如则O照等于()A.2B.-2C.-4D.4JCD由尸卷知尸(0,2),AF=y(i+2,O由4c1=2%=%+2得yo=2,所以必=16,解得Xo=4,故选CD.2.已知动圆加经过点火(3,0),且与直线/：彳=-3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为().=12aB.4=-12XC.x=12yD.X2=-12yA设动点/筋力,。与直线/：才=-3的切点为M则肠1=W,即动点M到定点力和定直线7：X=-3的距离相等，.点4的轨迹是抛物线，且以4(3,0)为焦点，以直线/：X=-3为准线，.,=3,:./7=6,故动圆圆心的轨迹方

13、程是=12x.3.已知直线/与抛物线y=6X交于不同的两点4B,直线力，如的斜率分别为左，A2,且左在=则直线/恒过定点()A.(-63,0)B.(-33,0)C.(-23,0)D.(-3,0)C设直线1为X=my-ntx=my+ni。联立2C消去X可得6%y6=0,1=6x,设力(x,71),S(X2,%),则%=6，因为1*2=5,即上上=5,XX2r-rb.YYt3636r-所以7J=F-=V3,y%yY26Y66所以n=-2y,所以x=ffiy-2y3,所以直线/一定过点(一25,0).4 .若直线x一尸2与抛物线y=4X交于48两点，则线段力6的中点坐标是(4,2)由2得M8x+4=0,y=x设4(汨,7)6(%，/2)则小+加=8,必+%=小+照-4=4,故线段9的中点坐标为(4,2).5 .已知定点6(1,0),动点P在y轴上运动，点V在X轴上，且成谦=0,延长必到点儿使得I而=I而，则点N的轨迹方程是.=4a-由于I砌=I4，则尸为JW的中点.设N(x,y),则做一0),/(,9，由而H7=O,得(一,一3(1,一习=，所以(一入)1+卜9卜习=0，则=4x,即点N的轨迹方程是=4x.I1腮凰QD囹F回顾本节知识，自主完成