2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 1-3空间向量及其运算的坐标表示1-3-1空间直角坐标系 学案.docx

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1、1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1 空间直角坐标系必备知识-情境导学探新知情境趣味导学顼习素养感知学习任务核心素养1 .了解空间直角坐标系.(易混点)2 .掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念.(重点)3 .能在空间宜角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标.(重点、难点)1 .通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升数学抽象的核心素养.2 .通过空间向量的坐标表示，培养数学运算的核心素养.情境与问题(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？(2)我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序

2、实数来刻画点在平面内的位置.那么，怎样才能刻画空间中点的位置呢？知识点1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念在空间选定一点O和一个单位正交基底j,k.以点。为原点，分别以九j,的方向为正方向、以它们的长为单隹氐度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系。灯/,。叫做原点,i,j,青都叫做坐标向量.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,。一平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.(2)空间直角坐标系的画法和右手直角坐标系空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系0灯Z时，一般使NxOv=135(或45),NyOZ=90.右手直角坐标系：在

3、空间直角坐标系中，让右手拇指指向四的正方向，食指指向上轴的正方向，如果中指指向呸的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.体验机.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)空间直角坐标系中X轴与y轴的夹角为45.()(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分.()(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系.()提示(I)X空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直.(2)空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分.(3) 原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系.情境与问题:在平面直角坐标系中，每个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，对空间直角坐标系中的一个点和

4、向量，是否也有类似的表示呢？知识点2空间中点的坐标和空间向量的坐标(1)点的坐标在空间直角坐标系OXyZ中，i,j,A为坐标向量，对空间任意一点4对应一个向量),且点4的位置由向量5唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(筋八z),使5=a+j+zA.在单位正交基底九J,A下与向量而对应的有序实数组(x,y,z),叫做点/在空间直角坐标系中的坐标，记作力(x,y,z),其中工叫做点力的横坐标，匕叫做点力的纵坐标，马叫做点N的竖坐标.(2)空间向量的坐标在空间直角坐标系OXyZ中，给定向量&作物=a由空间向量基本定理，存在唯的有序实数组(京八z),使a=A+yJ+z氏有序实数组5,H

5、Z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,z).思考(D空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？(2)空间向量的坐标和空间向量终点的坐标有什么关系？提示(I)X轴上的点纵坐标、竖坐标都为0,BPUO,0)；y轴上的点横坐标、竖坐标都为0,即(0,7,0)；Z轴上的点横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).(2)当空间向量的起点在原点时，空间向量的坐标恰好是空间向量终点的坐标.体验，2.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)若向量a=xa+ye2+ze1,则&的坐标是(x,必z).()(2)若向量49=(x,y,z),则点5的坐标是(x,HZ).()(

6、3)若点力的坐标为(x,y,z),则的=(x,y,z).()若四边形力应力是平行四边形，则向量拓与应的坐标相同.()提示(DX匕，e,a不一定是单位正交基底.(2) X点、A不一定和原点0重合.(3) 根据空间向量的坐标定义可知.(4) 由防=应可知薪与应的坐标相同.学科素养形成关键能力合作探究释疑难I1类型I求空间点的坐标【例1】(1)(对接教材上例题)如图，在长方体4CT48G4中，/出I=4,I初I=3,AI=5,“为棱CG的中点，分别以加，DC,他所在的直线为X轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标系.顶点4,的坐标分别为；长方形微GC对角线交点的坐标为.(2)在棱长均为2a的正四棱锥?力筋

7、中，建立恰当的空间直角坐标系.写出正四棱锥尸/1附9各顶点的坐标；写出棱加的中点必的坐标.(1)0(3,0,5),(3,4,0)修，4,由威=3升0/+54得4(3,0,5),由如=3f+4J+0A得8(3,4,0).设长方形A区GC对角线的交点为则点后为线段8G的中点，又GS,4,5),点/的坐标为4,习.解如图，连接力。，加交于点0,连接AZ四棱锥24四为正四棱锥，且棱长均为2a,四边形ABCD为正方形,且Wj_平面ABCD.：.OA=Wa,P0=yPA:OA2=j2ay2a=y2a.以点。为坐标原点，0A,0B,8所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,如图.正四棱锥月力应刀中

8、各顶点坐标分别为力(啦&0,0),Bg,2a,0),r(-2a,0,0),O(O,-20),P(0,0,y2a).加为棱的中点，小然，导，邛)即电,察,制.思领悟X求空间一点一的坐标的两种方法(1)利用点在坐标轴上的投影求解；利用单位正交基底表示向量谈询坐标就是点尸的坐标.跟进训练1 .如图，棱长为1的正方体力中，是力6的中点，尸是班的中点，G是力笈的中点，试建立适当的坐标系，并确定,F,G三点的坐标.解如图，以为坐标原点，分别以为，DC,M所在直线为*轴、y轴和Z轴建立空间直角坐标系，点在Z平面中，且|以|=.所以应=1+3+0M所以2点的坐标为(1,0).同理8点和&点的坐标分别为(1,1

9、,0)(11,1),又因为尸是物I的中点，故点坐标为(1，1，同理可得G点坐标为(1,B).I1类型2求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点(一2,1,4).(1)求点夕关于*轴的对称点的坐标；(2)求点Q关于0孙平面的对称点的坐标；(3)求点。关于点做2,-1,-4)的对称点的坐标.解(D由于点尸关于X轴对称后，它在X轴的分量不变，在Y轴、Z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为A(2,-1,-4).(2)由于点尸关于。灯平面对称后，它在彳轴、y轴的分量不变，在Z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为月(-2,1,-4).(3)设对称点为(筋y,z),则点M为线段图的中点.由中点坐标公

10、式，可得x=2X2-(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以月(6,3,-12).厂现规律点尸(x,y,Z)关于坐标轴，坐标平面对称的点的坐标与点尸的坐标有什么关系？提示关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(y,Z)关于y轴的对称点为(一y,一z),关于OZX平面的对称点为(yz).跟进训练2 .点尸(-3,2,1)关于平面OZX的对称点是,关于Z轴的对称点是，关于水1,2,1)的对称点是(3,2,1)(3,2,1)(5,2,3)点P(3,2,-1)关于平面OZX的对称点是(3,2,1),关于Z轴的对称点是(3,2,1).设点尸(-3,2,-1)关于(1,

11、2,1)的对称点为(Myz).x=5,解得,尸=2,.z=3.故点P(-3,2,-1)关于点W(12,1)的对称点为(5,2,3).D类型3求空间向量的坐标【例3】如图，在直三棱柱力跖43G的底面比中，CA=CB=1NEa=90,棱力4=2,M川分别为力心，44的中点，试建立恰当的坐标系求向量而，前的坐标.G贝IJ落=01+J+0A=(0,1,0),BN=AN-AB=k+CA-CB=i-J+k=(1,-1,1),n=CA,-CB=CA+CCy-CB=i-j+2k=t-1,2).1辰思领悟向量坐标的求法(1)点A的坐标利向量的坐标形式完全相同；起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得.跟进

12、训练3.如图，四垂直于正方形力仇力所在的平面，MN分别是力8,ZT的中点，并且必=AB=1试建立适当的空间直角坐标系，求向量击防，加的坐标.解建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,设力Qi,AD=J,AP=k,则四901+/+O4=(0,1,0),S9=-=-+0+0Ar=(-1,0,0),-A-A-A1-S1-A1-A-A1-1-A-A1-A-AMN=MA-VAP-VPN=一方48+AP+-PC=一手仿+AP-PA-AC)=一;AB+力4+夕(月1+AB乙乙乙乙乙，+力)=+3聂+%=(0,学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .点P（2,0,3）在空间直角坐标系中的位置是在（）

13、A.y轴上B.OTy面上C.OZX面上D.2yz面上C点尸的纵坐标为0,因此点尸在应X面上，故选C.2 .如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点力的坐标是（）A. (-1,-1,-1)B. (1,-1,1)C. (11,1)D. (1,1,1)C依据空间点的坐标定义可知，点/1的坐标为(1,一1,-1),故选C.3 .在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于。ZX平面对称的点的坐标为().(3,-1,5)B.(3,-1,5)C.(3,1*5)D.(3,15)A点产(3,1,5)关于OZX平面对称的点的坐标为(3,-1,5),故选A.4 .在长方体力伏笫45G耳中，若赤=3九AD=2JtA

14、Ai=5k,则向量尼在基底九j,A下的坐标是.(3,2,5)花=花+1左=3i+2J+5A=(3,2,5).5 .如图所示，在正方体力筋4AG中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1,则/必的坐标为,比;的坐标为(1,0,0)(1,0,1)由题图可知，力(0,0,0),以1,0,0),4(0,0,D,所以罚=(1,0,0),DCi=AAi+AB=(0,0,1)+(1,0,0)=(1,0,1).1晓/GD飨IB回顾本节知识，自主完成以下问题：1 .在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？提示观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线.让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内.充分利用几何图形的对称性.2 .如何确定空间一点户的坐标？提示先将尸投射(沿与Z轴平行的方向)到。孙平面上的一点A,由外尸的长度及与Z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在。灯平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定R的横坐标筋纵坐标八最后得出点尸的坐标(筋片z)3 .如何求空间向量的坐标？提示在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底九J,A表示，从而求出空间向量的坐标.