2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-5-1 椭圆的标准方程 学案.docx

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1、2.5椭圆及其方程2. 5.1椭圆的标准方程新课程标准解读核心素养1了解椭圆的实际背景数学抽象2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程直观想象及读I教I材知识梳理吁以本为本抓双基购情境导入天文学家是如何计算出日食（月食）出现的准确时间的呢？原来，地球（月球）运行的轨道是一个桶圆，通过视察它运行中的一些有关数据，可以推算出它运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长.太阳系各星球运行轨道问题（1）给你两个图钉、一根无弹性的细绳、张纸板能画出椭圆吗？（2）在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖（动点）满足的几何条件吗？町新知初探知识点一椭圆的定义如果尸2是平面内的两个定点

2、，。是个常数，且2Q尸2,则平面内满足IPFi1+胆!三&1的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点尸I，尸2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离IBBI称为椭圆的焦距.您想一想椭圆定义中，将“大于国61”改为“等于IQ&I”或“小于I尸正2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：2。与InB1的大小关系所确定的点的轨迹如下表:条件结论2aFiF动点的轨迹是椭圆2a=FiF动点的轨迹是线段尸I尸22VIB尸2动点不存在，因此轨迹不存在知识点二椭圆的标准方程焦点在X轴上焦点在），轴上标准方程02+方=13乂0)293+方=1(b0)图形焦点坐标(c,0),(c,0)(0,c),(0,C)。，

3、b,c的关系c1=a2-b2的想一想1 .确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：的值及焦点所在的位置.2 .根据椭圆方程，如何确定焦点位置？提示：把方程化为标准形式，V的分母哪个大，焦点就在相应的坐标轴上.每做一做1 .焦点坐标为（0,3）,（0,3）,椭圆上一点到两焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为（）aTo+91=1bw+9=1C足+上=1D止+且=1解析：C由题意。=5,c=3,且焦点在y轴上，b=y5232=4,，椭圆的标准方程为=2 .椭圆后+袅1的焦距为（）A.22B.23C.42D.8解析：C由题意得/=10,从=2,所以/=一/=IO-2=8,所以C=25,焦距为2c=

4、4故选C.3.已知P为椭圆C5+)2=1上一点，点尸,尸2为其左右焦点，IPBI=3俨巳|，则IPB1解析：由题意可得IPQ1+PBI=4,又因为IPQI=3PF2,所以4尸冏=4,则IP尸R=1所以IPQ1=3.答案：3白研I题国典例精析学用结合通技法题型一求椭圆的标准方程【例1】(饯接教科书第132页例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等3-25-2于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点(3)椭圆的焦点在X轴上，a：b=2：1,c=6.解椭圆的焦点在X轴上，故设

5、桶圆的标准方程为5+g=1(0Z0).V2a=10,c=4,c2=9, .楠圆的标准方程为,+=.(2)椭圆的焦点在y轴上，故设桶圆的标准方程为，+1=1(aZO).2由椭圆的定义，知2=又.Z=2,2=a2-c2=10-4=6, .椭圆的标准方程为旨+差=1.(3)Vc=6,I./一瓜=c2=6.又由。：方二2：1,得=2b,代入得4/一=6,：.B=2,2=8.又Y椭圆的焦点在X轴上, 椭圆的标准方程为3+1I通性通法I确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1) “定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点的位置由X2,)2项系数分母的

6、大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上：(2) “定量”是指确定。2,序的具体数值，常根据条件列方程求解.跟踪训练1 .已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(一3,0)和(3,0),且椭圆经过点(4,0),则该椭圆的标准方程是()解析：A因为焦点坐标为(一3,0)和(3,0),焦点在X轴，所以c=3,椭圆经过点(4,0),所以=4,又/+c2=所以方=巾.故选a.2 .已知椭圆的焦距是6,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10,则椭圆的标准方程是.解析：由题意，椭圆的焦距是6,可得2c=6,即c=3,又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10,可得20=10,即=5,则=/c2=25-9=1

7、6,当焦点可以在X轴上时，椭圆的方程为耒+1=1;当椭圆的焦点在)，轴上时，椭圆的方程为1答案:+=1+1题型二椭圆的定义及其应用例2(箧接教科书第135页练习B2题)(1)椭圆芸+5=1的两焦点为F1,F2,一直线过尸I交椭圆于A,B两点,则的周长为；v2,2(2)椭圆器+5=1的两焦点分别为尸I，尸2，点P在椭圆上，若IPQ1=6,则NQP尸2的大小为解析(I)A,B都在椭圆上，由椭圆的定义知IAFI1+1ABI=2a,BFi+BF2=2a.又一IA同=IAFII+由尸,ZXABB的周长为IABI+AF2+IBB1=IAB|+|86+AF2+F2=4a.故aABF2的周长为4X5=20.*

8、22(2)由法+，=1,知。=4,力=3,c=S，|尸&1=2。一P尸=2,F1F2=2c=27,./PFi2+P22-FiF221.CosZFiPF2-2|PFIIIPF,-2*ZFPF2=60.答案(1)20(2)60I通性通法I椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若IMFI1+MF2=2(2FF2),则点M的轨迹是椭圆：反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2。；(2)涉及焦点三角形面积时，可把IPQ1P尸2看作一个整体，运用IPF1F+pb2=(PQ+PF2)2-2PFiP尸2及余弦定理求出IPa1PF2I,而无需单独求解.Z跟踪训练1 .已知椭圆去+方=1上的点M

9、到该椭圆一个焦点尸的距离为4,N是Af/的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是()A.6B.5C.4D.3解析：C如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为Fi,连接F1,因为N是MF的中点，O是尸尸I的中点，故ON是AMFF1的中位线，故ON=；MA,由京+1=1得。=6，由椭圆的定义可知MF+MFi=2a=2f因为M/=4,所以M尸=8,故ON=%R=4,故选C.2.设Q,B是椭圆招+看=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且IPQ1：IP尸2=4：3,则APFiB的面积为()A.22B.42D.6C.4494-2知易5-2知IPF1I+PB=2=7,又因为IPFI1：PF2=4:3,所以IPBI=

10、4,P尸R=3,又IFIBI=2c=5,所以APQ尸2为直角三角形，所以SZkPR尸2=X3X4=6.故选D.题型三与椭圆有关的轨迹问题【例3】(1)已知P是椭圆2+(=1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点。的轨迹方程：(2)一个动圆与圆Qi：+3)2+y2=1外切，与圆。2：-3)2+y2=81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.解(1)设Q(,y)，P(o,W)，由点Q是线段OP的中点知o=2x,泗=2%即f+S=1(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q(3,O),R=1;2(3,O),&=9.设动圆圆心为M(%,y),半径为R,如图.由题设有IMQII=1+RMQ2=9-R,所以

11、IM21+IMQI=1OIQQI=6.由椭圆的定义，知点M在以Qi,Q为焦点的椭圆上，且=5,c=3.所以b2=crc1=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为,+汽=1I通性通法I求动点轨迹方程的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解；(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程:(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程.跟踪训练已知8,C是两个定点，顶点A为动点，BC=6,且AABC的周长为16,求顶点A的轨迹方程.解：如图所示，以线段BC所在直线为X轴，线段BC的

12、垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设A(X,y),由题意知：B(-3,O),C(3,0),A8+AC+IBC1=I6.又IBC1=6,AB+AQ=10.VAB+AQIBQ,点A的轨迹是以8,C为焦点的椭圆.易知=5,c=3,则b=4,又A,B,C构成三角形，点A,C不共线，xW5.v22，点4的轨迹方程为会+汽=I(XH5).回随堂检测1 .到两定点尸1(一2,0)和尸2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对解析：BIMFI1+MBI=防正2=4,点M的轨迹为线段尸国.2 .椭I员I，+)?=1的焦点坐标是()A.(0,3)B.(3,0)C.(0,5)

13、D.(5,0)解析：B由题设方程，椭圆焦点在X轴上且c=p二K=小，焦点坐标为(土布，0).故选B.3.已知椭圆C2+1f=1的左、右焦点分别为尸I，尸2，过点尸I作直线/交椭圆C于M，N两点，则尸2MN的周长为()B.4A.3C.6D.8解析：D由题意，椭圆C：f+f=1,可得a2=4,即。=2,如图所示，根据椭圆的定义，可得aBMN的周长为IMN1+IMFN+W&I=IMF1I+MBI+NF+N/2=2+2=4=8.故选D.4.（多选）若方程/+h2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数攵的取值可以是（）A.2B.1C.0.5D.0.3解析：CDY方程/+2=2,即弃:=1表示焦点在），轴上的椭圆，.*2,故Oyy.故选C、D.5.设B分别为椭圆C,+W=13*0）的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A（1,|）到尸”Fz两点的距离之和为4,求椭圆。的方程是.解析：+ABI=2=4得=2,原方程化为3+W=1,将A（1,1）代入方程得必=3,，椭圆方程为t+=1.答案：+=