专题1 第8讲恒成立问题与有解问题.docx

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1、第8讲恒成立问题与有解问题【母题】(2014全国I )设函数九二川口工+一2一汝伍工1),曲线y=/U)在点(1,负1)处的切乙线斜率为0.求公(2)若存在的。1，使得人%)言，求。的取值范围.(2)思路分析存在出21,使得凡卬)言求於)min解()f (x)=+(a)xb.人由题设知/ (1)=0,解得Z?=l.(2加工)的定义域为(0, +8),t, 1 a 、由(1)知，7U)=Hn x+-广x,1).f (x)=+(l-d)x-l =人若aW1则/W1,故当元(1, +8)时，/ (工)0,段)在(1, +8)上单调递增.乙 1 CI所以，存在X()2 1 ,使得/(Xo)4 _ 的充

2、要条件为aI 1 aa川)o,得力上单调递减，在(曾工,+ 8上单调递增.所以，存在的21,使得的充要条件为/(J士)一 1所以不符合题意.z、乂-I 1a-Q1 a右 a 1,则/(1)=2 - =2 。，所以人幻在(0, +8)上单调递增，无极值点；当 a0 时，由 / (x)=,一0,得 0xv,，.X,a由/ (幻=:一。0,得心，人c0)恒成立，则当Q0时，。2号一工恒成立，人. In xit ,1X2In x令a)=-x, xo,则力 a)= p ,令 A(x)= 1 In x, x0,则当第0 时，k (x)=-2x-0,在(1, +8)上,hf (x)。时，当 XV1 时，g1

3、 (x)0, g(x)在(一8, 1)上单调递增；当 Q1 时，/ a)vo, g。)在(1, +8)上单调递减，对 Vxi(o, +), 3x2=-p 使得 ga2)=g(；)=-i-l-q*D，符合题意.当4=0时，g(x)=(),取为=生，对/检1有火山)一g(X2)。，不符合题意.当&0时,当 xvl 时,gf (x)0, g(x)在(1, +8)上单调递增，kg(X)min = g(l)=1若对 Vx|(0, +),使得人为)g(X2)20,只需 g(x)min 勺(x)min,即一女，解得 k& -1.综上所述，4(8, 1 U(0, +0).规律方法(1)由不等式恒成立求参数的取

4、值范围问题的策略求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.分离参数法，将参数分离出来，进而转化为次幻max或。勺&)min的形式，通过导数的应用求出/U)的最值，即得参数的范围.(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.【跟踪演练】1 . (2020全国n改编)已知函数段) = 21nx+l.若於)W2x+c,求c的取值范围.解设 h(x)=j(x)2xc9贝! /?(%)=21n %2x+ 1 c,2其定义域为(0, +), h (x)=-2.人当 0x0；当 Q1 时，hf (x)0.所以(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1, +8)上单调

5、递减.从而当X=1时，力(X)取得最大值，最大值为(1)=-1-C.故当一1c0,即cH 1时，风)2大+心所以C的取值范围为-1, +).2 .已知函数负x) = (1 x)ex 1.(1)求r)的极值；设 ga)= (X /)2 + (lnX-$2,存在 X(8, +oo), X2(0, +0),使方程 n) = g(X2)成立，求实数机的最小值.解(1/ a)=一心当尤(0, +8)时，f (x)0,当。=0时,r)有极大值0) = e-l=0,凡v)没有极小值.(2)由(1)知兀r)W0,又因为 g(x) = (x/)2+(lnxyO,所以要使方程y(xi)=g(X2)有解，必然存在x

6、2(0,+8),使以也)=0,所以x=f, lnx=Y，等价于方程In有解，即方程/n=jdnx在(0, +8)上有解,记(x)=xlnx, x(0, +),则，(x)=lnx+1,令 h (x)=0,得C所以当x(0, 时，/ (x)0, 单调递增，所以当尤=:时，力min = - J,所以实数机的最小值为一!专题强化练1. (2020新高考全国I改编)已知函数r)=oeL已犬+lna.若於)21,求。的取值范围.解大幻的定义域为(0, +), f(X)= ex-1-7人当 031 时，Xl)=a+lnal.当 a= 时，/(x)=ev-, Inx, f (x)=ev-1当 x(0,l)时，

7、f (x)0.所以当r=1时，氏r)取得最小值，最小值为式1)=1,从而7(x)21.当。1 时，y(x)=4e i In x+ln a2e In 1.综上，4的取值范围是1, +).2,设函数,)=加一如x(2al)x+al(aR).若对任意的天引1,十8),於)20恒成立，求实数。的取值范围.解 f (x)=2ax 1Inx (2a -1)=2a(x 1)In x(x0),易知当 x(0, +8)时，lnxx-1,则 f (x)2a(x- l)-(x-1) = (2-l)(x-1).当2a 120,即“N：时，由xl,+8)得/ (x)20恒成立，人)在1, +8)上单调递增，丸v)2#i)=o,符合题意；当aWO时，由xl, +8)得/ a)W0恒成立，Kt)在1, +8)上单调递减，./U)W/(1)=O,显然不符合题意，W()舍去；当 时，由 InxWx-1,则 / (工)2。(犬一1)一(2ax 1),当工金1，明时，/。恒成立，7/(幻在1,用上单调递减，,当国1,用时，儿。勺(1)=0,显然不符合题意，0；舍去.综上可得，同;，+8)