专题一 第8讲恒成立问题与有解问题.docx

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1、第8讲恒成立问题与有解问题1 -ci【母题】(2014.全国I )设函数Y)=alnx+一厂炉一历:(aWl),曲线y=/(x)在点(1,负1)处的切线斜率为0.(1)求为(2)若存在后21,使得月均)%，求。的取值范围.(2)思路分析存在项21,使得1M)Ty1I/(X)min . _ I求“T)min解(ly (x)=-+d)xb.人由题设知/ (1)=0,解得z?=l.(2次0的定义域为(0, +8),1 -a由(1)知，7U)=Hnx+ 2 /一二/ a)=f+(La)Ll=与%一言d).若 4 则匕W1,故当日1, +8)时，/乂)，於)在(1, +8)上单调递增.所以，存在沏21,

2、使得代知)言的充要条件为aI-ciaX 1) 7.即- 1 7,八 a I 2 a I解得一也一ay2 1.若上。1,2 1 a故当x(i，黄/时，/ a)o，当闻高，+8)时，/。)0,段)在(1,黄工)上单调递减，在(含，+8)上单调递增.所以，存在向21,使得/Uo)M的充要条件为/(言1 a 2(1一。)a a 1所以不符合题意.1cia1 a右。 1,则 )=- 1 = -2综上，。的取值范围是(一也一 1, V2-1)U(1, +oo).子题1已知函数次x) = lnx奴，双冗)=炉，aR.求函数4x)的极值点；(2)若j(x) Wg(x)恒成立，求。的取值范围.解(l)/(x)

3、= lnx的定义域为(0, +),当 aWO 时，f (x)=6?0,X所以7U)在(0, +8)上单调递增，无极值点；当()时，由/(X)=二一(),得()4，XCL由/ (x)=a0时，X恒成立，*X*人，/、 In x八 Li 1 %2In x令 h(x)=x9 x0,贝 11h (x)=?,令 k(x)= 1 x2n x, x(),则当 x0 时，k (x)=-2r-0,在(1, +8)上,hf (x)0, g(x)在(一8, 1)上单调递增；当心1 时,gf (x)o, g(x)在(1, +8)上单调递减，对 Vxi(0, +), 3x2=使得 g(X2)=g()=-5 1一!勺3)

4、,符合题意.当2=0时，g(=0,取即=太，对Zx2wr有y(xi)以12)0,不符合题意.当20时,当 K1 时，/ (x)o, g(x)在(1, +8)上单调递增，kg(l)=k 1若对 Vxi(0, +), mX2WR,使得人口)g(X2)20,只需 g(X)minWT)min,即一丞，解得 k&综上所述，攵(8, 一; U(o, +).规律方法(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.分离参数法，将参数分离出来，进而转化为。次或。勺)min的形式，通过导数的应用求出凡T)的最值，即得参数的范围.(2)不等式有解问题可类比恒成立问

5、题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.【跟踪演练】1 . (2020全国II改编)已知函数段)=21n元+1.若危)=2x+c,求c的取值范围.解 设 h(x)=J(x)2xc,则 /z(x)=2ln x-2x+1 c,2其定义域为(0, +8), hr (x)=-2.当(Kxvl 时,h (x)0；当尤1 时，hr (x)0.所以(X)在区间()/)上单调递增，在区间(1, +8)上单调递减.从而当x=l时，(x)取得最大值，最大值为(1)= -1C.故当一 1 一cWO,即 C2一1 时，r)W2r+c所以c的取值范围为-1, +).2 .已知函数1x) = (lx)e1.(1)求危)的极

6、值;(2)设 g(x)=(xr)2 + (inx-$2,存在 X(8, 4-00),及(0，+)，使方程人为)=以12)成立，求实数机的最小值.解(1。)=一1己，当 x(0, +8)时，f(幻O,当尤=0时,火幻有极大值人0)=。-1=0, r)没有极小值.由知危)0,又因为 g(x)=(xt)2+(n x所以要使方程r1)=g(X2)有解，必然存在也(), +),使g(X2)=0,所以x=f, Inx=y,等价于方程lnx=有解，A即方程相=xlnx在()，+8)上有解，记(x)=xlnx, /(), +),贝(x)=lnx+1,令/? (x)=0,得所以当x(o, J时，力 a)o, a

7、)单调递增,所以当时，力(X)min=J,CC所以实数机的最小值为一L专题强化练1 . (2020.新高考全国I改编)已知函数x)=aelnx+lna.若丹x)21,求。的取值范围.解./U)的定义域为(0, +), / (x)=ae、I人当 01 时，j()=a+na.当 =1 时，兀i)=ei Inx, f (x)=ei一当九(0,1)时,f (x)0.所以当元=1时，yu)取得最小值，最小值为y(i)=i,从而於)21.当时，y(x)=4e I In x+ln a2e I -In 1.综上，。的取值范围是1, +).2 .设函数r)=x2xln x(2al)x+al(aR).若对任意的

8、xl, +), r)20 恒成立，求实数的取值范围.解 f (x)=2ax 1 Inx(2a1)=2a(x 1)Inx(x0),易知当 x(0, +8)时，lnxx-l,则 f1)一(x- 1) = (2。- 1)(犬一 1).当2。120,即封时，由xl, +8)得/ (%)20恒成立,心)在1, +8)上单调递增，於)2外)=0,符合题意；当 W0时，由xl, +8)得/ (x)W()恒成立，外在口，+8)上单调递减,於)qu)=o,显然不符合题意,舍去；当 0。3时，由 In xWx- 1,得 1,即 lnx21J,人 人人则/ a)w2ai)一(2ax1),2 2a当x电，灯时，f a)wo恒成立,yu)在i,日上单调递减，当司1,明时，%)力1)=0,显然不符合题意，0。；舍去.综上可得，/，+8).