数理经济学茹少峰课后题及答案.docx

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1、1求下列函数的极值。2x2212xyXxyy3ax3by16(4)InX一XX/1出血一症丽物1:14/古66,认取攵/4Hr殂fx2xy3a0,fyX2y3bO解得，(x,y)(2ab,2ba)为可能的极值点根据充分条件，函数f(x,y)的二阶导师组成的HeSSian矩阵为3a25ab3b2oH30,因此(2ab,2ba)为f(x,y)的严格极小值点，极值为(2)根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。(3)根据元函数极值的必要条件，可得求得极值点为XIo由充分条件知y66o当X1时y0,所以该函数极值不存在(4)根据一元函数极值的必要条件，可得求的

2、极值点为Xe由充分条件知y2xIn3xXCO,因此该函数存在极大值为-P2.讨论函数fx,XyX2y2I的极值。解：根据二元函数极值的必要条件，可得区y)(00、(xy、(_J(X(2，9),(,y)(2,2)a，y)(升为可能的极值点根据充分条件，函数f(X,y)的二阶导师组成的HeSSian矩阵为(x,y)(0,0)时，H10,因此函数在该点无极值；3-(x,y)(JJ时，H20,海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极11Z(x,y)(一,-)时，H22220,海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小22-221值为；811(y)(q、1,2,2)时,20,(DW0,(I)?M0,

3、则海赛矩阵为负定矩211(x,y)(-2时Y2820,(D州0,(2I)A0,则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为8；阵，因此函数在该点有严格极大值为3. 试说明对于任意的0,生产函数f(x)K1是凹函数。证明：&AK11,fhAK111WA(I)K1fUA(DK1所以函数的HeSSian矩阵为因为01,01,所以IH(K_1)0;且(I)A0,(02A7,Hessian是负定的，因此生产函数是严格凹函数4. 考虑生产函数y1KPo如果01,01,1,试说明该生产函数对于1和K的任意取值都是严格凹函数。如果1,该函数是什么形状？证明：(1)同上，可求得函数的HeSSian矩阵为H

4、essian是负定的，该函数对于K、1任意取值都是严格凹函数5. 某完全竞争厂商由单一可变投入1(劳动)，每期工资率为W。若该厂商每期的固定成本为F,产品的价格为P。，要求：(1)写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；(2)何为利润最大化的阶条件？解释此条件的经济意义;(3)什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解：(D生产函数为：Qf(1)收益函数为：RPQPf(1)成本函数为：C1WDF利润函数为：RCPf(1)(1W0F)(2)禾U润最大化的一阶条件为：W1,0,即Wo该条件的经111P济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。(3

5、)要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：因为P。，所以“优，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现d21利润最大化.6.某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q:C-Q3-7Q2I11Q50,Q100P3请回答下列问题:(1)确定总收益函数R与总利润函数。(2)确定利润最大化的产出水平及最大利润解：RPQQ(100Q)(2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，Q1,QIE利润最大化的二阶充分条件为：-2Q12,当Q1时，-0,函数取得极小值为-55.33；Q当Q11时，飞0,函数取得极大值为1.33；2Q所以，在产出水平为11时，利润最大为I1133设有二次利润

6、函数QhQ123jQk,试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：1 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负;2 证明利润函数为严格凹函数；3 求在正的产出水平Q下的最大化利润。解：(1)由题可知，当QO时,ko由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为kO(2)因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为2hQjO,Q求得Q；二阶充分条件为一2ho2h2Q函数为严格凹函数满足的充要条件：f()0,即亍0,2Q因此，hOo在正的产出水平下，Q_10,因此j0。2hP8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为2,产品的需求函数Q及成本函数C为：Qi40-

7、2R-P2,Q235-R-P2,CQi2Q.10,求利润最大化的价格水平。22解：利润函数PiQiP2Q2C7R3P28RP2270Pi185P22835利润最大化的一阶必要条件为：14R8P22700,-8R6F21850PP解得，R7,P221.5,14O,6O,20O又U22112212所以，在利润最大化是价格水平为R7,P221.5,9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为R和P2,单位时间内i产品的产出水平为厂商成本函数为C2Q；QQ2Q：,求：(1)利润最大化的产出水平；(2)若总成本函数为C2Q；2Q；,两产品的生产是否存在技术相关性，新Q1与Q2的最优水平是

8、多少？(3)对参变量R和P2进行比较静态分析。解：(1)RQ1P2Q2(2QJQQ2Q/)R4QQ.0R4Q,Q0Q1Q22IJ413P4P2可得Q1自,&,33(2)RQiP2Q2(2QI22Q?)TP4Q0,TR4Q20,QiQ111可得，Q1P,Q2Pz0,即在最优产量下，Q：,&不存在技术相关性。而QQ44313Q243P23(3)由(1)问中的最优产量晋，Qa3Q：4Q.1Q2P3P23P即，产品1价格上升1单位，产量上升-，价格下降一；3314产品1价格上升1单位，产量下降-，价格下降-；3310. 一个公司有严格凹的生产函数QKo给定P产品价格，r资本的利用率，工资。要求：(1)

9、对利润达到最大化的投入要素K与1进行比较静态分析，并作简要的分析说明;(2)假定生产函数是规模报酬递减的COObT)OUg1aS函数，做同样的比较静态分析。解：PQ(K,1)rKw1利润最大化时，最优解为KK(P,r,w),11(P,r,w)PQ(K,1)rKW1为最优值函数。r变化对最大利润的影响为：P-rP-w_1KKrr1r利润最大化时有P-rO,P-W0则K,1rrww即当资本利用率或工资提高时，禾U润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。(2)PK1rKw1利润最大化时，最优解为KK(P,r,w),11(P,r,w)PQ(K,1)rKW1为最优值函数。K,1,(K)(1)

10、rrwwP11. 考虑参数为的极大化问题函数fX：ax23ax4a2aO:(1)利用包络定理求函数fx；a的最大值关于参数a的导数；a(2)分析参数对目标函数的最大值的影响。解：(1)假设最优解为Xx(a),(2)一阶条件为-)0,即2x(a)3a0x所以，参数a与木匾函数的最大值同向变动。12.考虑参数最优化问题InaXfx,aa3x423x3eax213（a为参数）：(1)求目标函数的极大值关于参数a的导数；分析参数a对目标函数的极大值的影响(假设这个问题的最优解XaO)o解：(1)假设最优解XX(a)利用包络定理A-1a(2) X(a)0,由中结果，,所以参数a对目标函数极值的影da响是

11、同增同减的。13. 给定依赖于投入参数的短期总成本函数Cq,yaybq当，这里2ya,b,d0,求长期总成本函数C1qo解：长期总成本函数C(q)minCs(q,y)aybq也a,b,d02y要使上式为极小值，必须满足一阶必要条件：dqdqQbya4414. 航空公司在甲乙两地之间有固定的航班。他比预定航班的商务乘客和预定周六晚上过夜航班的乘客的需求看作两个单独的市场。假设商务乘客的需求函数为Q16p,旅游乘客的需求函数为Q10P,对于所有乘客的成本函数为CQ10Q2o该航空公司在两个市场如何定价才能获得最大利润？解：总利润函数4P278P376由一阶必要条件可得，P39二阶充分条件可得，“80,即该点为极大值。15. 给定一个价格接受的厂商的生产函数QK,U假设Qk10,即资本的边际产量随着劳动力的增加而增加。给定产品价格P,资本的租金率r和工资3,贝尼的利润函数为nK,1PQK,1nKS1假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，试分别讨论外生变量r、S和P之一的变化对各个内生变量的最优值K和1的影响。解：由题可知，厂商最优值为KK(P,r,w),11(P,r,w)最优函数为PQ(K,1)rKw1贝口QKKQ11贝PrPwKrKrr1rr根据利润最大化一阶必要条件可得PRr0,p2w0K1利用包络定理，内生变量对外省变量的影响如下:K,1,Q(K,1)