“消元思想”还是“化归思想”.docx

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1、“消元思想”还是“化归思想”吴京霖王睿【摘要】对人教版数学七年级（下）“二元一次方程解法”中数学思想方法的表述进行研究，发现以“消元”思想的提法在实际教学中会产生两个矛盾.为了解决这一问题，研究通过比较消元思想和化归思想的内涵以及三个版本“二元一次方程组的解法”的思路路径，得出“二元一次方程组解法”的思维模型，确定了 “二元一次方程组的解法”应渗透的数学思想为“化归思想”，消元是化归思想指导下的转化方法；并给出了教材的修改建议.【关键词】化归思想；消元；二元一次方程组；数学思想方法1问题提出数学思想方法就中学教学而言，是指用于指导数学问题解决的思想方法.张奠宙教授认为：“评价一节数学课的质量，

2、首要关注的就是教学过程是否揭示数学知识的本质，让学生理解数学内容的精神.而其本质和精神，就是数学思想方法” 1义务教育课程标准（2022年版）分别从课程理念、教材编写以及课程资源发三个板块强调了数学思想方法的重要性2.由此可见,数学思想方法是中学数学教学的重要组成部分.具体而言，数学思想方法包含数学思想和数学方法，但我国数学教育学者普遍未将思想和方法作出明确的区分，其主要原因是数学思想既可作为指导数学发现的思想，也可以作为问题解决的具体方法，如函数思想方法3.然而在中学教学实践中，如果不对数学思想和数学方法加以区分，势必会引起教材编写、渗透数学思想的教学等产生混乱,在人教版数学七年级（下）二元

3、一次方程组的解法中，教材对该章运用的数学思想进行归纳，认为指导二元一次方程组解法发现过程的思想为“消元思想”.这一提法与探究二元一次方程组解法中的实际经验相悖.事实上，通过三种版本教材的比较分析发现，二元一次方程组解法的发现思路是“二元一次方程组不会解,但是会解一元一次方程组，那么能不能把二元一次方程组转化为已经掌握的一元一次方程从而解决问题呢？ ”可以看到，基于这种思考,化归思想才是主要的指导思想，而消元运用在具体的转化过程中，更多体现的是方法.基于上面的表述，本文主要从教材中“消元思想”提法下的前后矛盾、消元思想和化归思想的内涵比较以及三种教材中对于二元一次方程组解法的思路路径分析三个方面

4、论述人教版教材中提“消元思想”的不合理性，并结合论证给出教材编写的修改建议.2 “消元思想”提法下的前后矛盾人教版教材中，二元一次方程组章节中涉及思想方法的表述主要分布如表1所示.从上述5个表述可以发现两个矛盾：（1）消元在本章中是思想还是方法的矛盾在章引言中提出，消元是一种思想方法，其后在“消元一一二元一次方程组的解法”这一节中，明确指出消元是本章的指导思想.但紧接着，归纳出“通过消元使方程组转化为一元一次方程“，从这一表述上看，消元是转化的一种方法，最后在章小结中也明确指出了 “消元是解二（三）元一次方程组的基本方法”，同时还提出了转化的过程中体现了化归思想；值得思考的是，教材中正式提出了

5、 “消元”思想,然而小结处却直接否定了该提法，反而添加了教材中只字未提的化归思想，显得如此突兀.诚然，数学思想方法在课程标准中亦未明确区分，但从根本上看，思想具备一般的指导性，而方法则是在思想的指导下解决问题的具体途径.如果教材中不对思想和方法加以区分，教师该如何进行备课，学生看到如此矛盾的表述亦对数学的严谨性产生质疑.(2)消元思想能否解释“为什么要这样做？ ”的问题如果以“消元思想”作为指导思想，解决二元一次方程组的问题后,在研究三元一次方程组时，该如何进行思路的分析？很显然，学生会想到消元，那么问题会随之产生，怎么消，消到什么程度？消元思想是无法解决的，唯有以化归思想为指导，产生如下思路

6、：“三元一次方程组不会解，但是已经学会了二元一次方程组，所以只要能将三元一次方程组转化为二元一次方程组，就可以解了这样的思路可以解决怎么消和消到什么程度的问题，因为学生已经明白了 “为什么要这样做”，那自然就可以很快理解怎么消和消到什么程度的问题.3消元思想和化归思想的内涵消元思想在人教版教科书“消元一一二元一次方程组的解法” 一章中有明确的定义，即“将未知数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.“化归思想在教科书中未明确指出，但是在同章的章节小结中有相关表述：“通过消元，我们把三元转化为二元，二元转化为一元，这一过程体现了化归思想.张奠宙教授在数学教育概论中指出，化归思想是指将待解决的问题

7、通过逻辑或等价变换，归结为已知的事实的思想.简单的说，就是将“不会的问题”通过一定的方法转化为“已经掌握的问题”，这是数学问题解决中最常用的方法,下面以思想来源、思想指导内容和思想育人价值三个维度进行比较.此处思想来源不是指其数学思想的根本来源，而是指在初中数学课程中首次应用该数学思想解决问题的知识点；思想指导内容是指在初中数学课程中应用该数学思想发现数学知识方法的知识点；思想的育人价值是指学生在掌握了该数学思想后可以运用该数学思想解决哪些实际问题(见表2).从表2可知，就初中数学课程而言，消元思想和化归思想均起源于探究二元一次方程组的解法，但就思想指导内容而言，化归思想的指导内容更加广泛，其

8、不仅指导探究二元一次方程组的解法，更在命题证明、探究多边形内角和等知识点中有重要应用.如要探究多边形内角和，可以将问题转换为一个多边形可以转化为多少个三角形的问题,再结合三角形的内角和为180 ,从而解决问题.从思想育人价值上看，消元思想提供了一种“降维”思维，而化归思想提供了一种解决问题的一般方法，可以帮助学生在面对未知问题时，尝试构建未知和已知的联系，从而将未知的问题转化为已知的问题进行解决.通过比较分析发现，消元思想无论在初中数学课程还是指导现实问题的解决上，都无法与化归思想相提并论.因此，在“二元一次方程组解法”这一节的教材编写中，应渗透的是化归思想.4三种教材中对于二元一次方程组解法

9、的思路路径分析数学思想源于数学问题的解决，同时也指导数学问题的解决.数学教材是数学教育专家们经过综合数学知识、数学学习论、数学教学论、教育心理学等知识编写而成，体现了数学教育专家对于数学知识的本质理解.然而不同版本的教材，对于数学知识本质的揭露各有侧重，通过教材比较，可以发现其中的共同之处，即数学知识的本质.为了揭示二元一次方程组中到底是何种数学思想占主导作用，笔者以人教版、北师大版和苏教版三种版本教材中二元一次方程组的解法探究过程为研究对象，从问题选取、思考问题、提示、方法归纳四个维度进行比较，得出专家们普遍认可的二元一次方程组解法的思路路径，并以此路径为基础，分析消元思想、化归思想中的各自

10、作用.通过教材比较发现，人教版和苏教版都运用了 “找联系”的方法，即让学生比较分析发现二元一次方程组和一元一次方程的关系，从而指出二元一次方程组可以转化为一元一次方程组，这样处理的好处是学生能够比较快地明白二元一次方程组和一元一次方程组的联系，并提供代入消元法作为解题思路.但是这样处理存在这样一个问题：“为什么要和一元一次方程组比较？为什么不是别的？ ”学生会陷入知其然而不知其所以然的窘境.会产生这种现象的根本原因就在于，它与学生的思维过程并不相符.而北师大版则运用了两个小提示来揭示学生的思维过程：“我不会解二元一次方程，只会解一元一次方程”一一“把二元一次方程组转化成了一元一次方程” 一一“

11、我会解了“ .学生经历了完整的“化归思想”的历程，不仅知其然，更知其所以然.从方法总结上看，三个版本教材中的方法总结虽然表述不同，但都提到了一个核心的概念：“将二元一次方程组转化为一元一次方程组”，因此可以确定二元一次方程组的解法的思路路径（见图1）.此外，还有两个问题亟待解决：1）为什么要如此做？ 2）怎么转化？这是思想和方法的问题.结合北师大版的教材可知，这样做的原因是学生不会解二元一次方程组，但是会解一元一次方程组.因此，自然而然会想到，能不能将二元一次方程组转化为一元一次方程组呢？这样的一个思维过程就是化归思想在起指导作用.在确定了转化后，接下来的问题就是如何转化？结合所学等式的性质，

12、发现可以通过代入消元法和加减消元法来实现这一转化过程.因此二元一次方程组解法中，数学思想是化归思想，方法是消元法,综上所述，二元一次方程组解法的思维模型见图2.如果只看到消元法在起作用，而不能看到背后的化归思想在统领全局,就会导致数学教学过程只关注了现象，偏离了数学本质，这与课程标准中强调的“在教学过程中注重揭露数学知识的本质”相悖.5研究结论通过分析人教版七年级下册“二元一次方程组的解法”单元中对于数学思想方法的表述，发现以“消元思想”作为本章的指导思想，会在教材内容逻辑上产生“消元”是思想还是方法的矛盾和“消元”不能解决“为什么要这样做”的问题，并进行消元思想和化归思想内涵的比较分析以发现

13、其在初中数学知识中的重要性，以及从人教版、北师大版和苏教版三个版本教材进行比较，得出了二元一次方程组的解法的思维模型，即以化归思想为指导，运用消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程组.这一思维模型揭示了 “化归思想”才是“二元一次方程组的解法”的指导思想，“消元”只是转化的一种方法.基于上述结论，建议对教材进行如下修改：（1）在章引言处，将消元思想更改为化归思想；（2）在&2节中，将消元思想的相关表述删除，更改为化归思想的表述，并指出消元是一种在化归思想指导下的转化方法.参考文献1张奠宙，宋乃庆.数学教育概论M.北京：高等教育出版社，2022：94-98.2中华人民共和国教育部.义务教育课程标准M.北京：北京师范大学出版社，2022.3王全林,中学数学方法概论国.广州：暨南大学出版社,2000：3-5.作者简介吴京霖（1991）男，贵州黄平人，硕士研究生；主要研究方向为中学数学教育.王睿（1996）女，贵州贵阳人，硕士研究生；主要研究方向为中学数学教育.