二次函数解析式常见求法以及练习.docx

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1、二次函数解析式常见求法一、定义型此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a0 ； 2、X的最高次数为2次.例、若y = （m2 +巾）-2?1-1是二次函数，则m=.解：由 m2 + m 0得：mK0,且 mK-1由 z2 - 2m - 1 = 2得 m=-l 或 m=3* m=3.二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一。例、经过点A（0, 3）的抛物线的解析式是.分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足、=。/ +匕 +。中的C=3,且aXO即可y = x2 + % 3 （注：答案不唯一）三、平移型将一个二次函数的图

2、像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = （x-九）2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x-h上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m.其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移，由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变.例、二次函数丫 = / + 3%+ |的图像是由y = 2的图像先向 平移 个单位，再向平移一个单位得到的.解：vy = i23x + = i（x + 3）2-2,二二次函数y = / + 3% + |的图像是由y = 2的图像先向左平移3个单

3、位，再向下平移2个单位得到的.这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式y = q +取+ g转化成一个三元一次方程组，以求得a, b, c的值；例、图像经过（1, -4）, （-1, 0）, （-2, 5）,求二次函数的解析式解：设二次函数的解析式为：y = + b% + c,依题意得：（4q + b + c（ a = 1j 0 = b + c 解得：b = 2（5 = 4q 2b + c c = 3 y = 2 - 2% - 3五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式y = Q(x-h)2 + c这顶点坐标为(ht k)1对称

4、轴方程x=h,极值为当=h时，y极值二k来求出相应的系数；例、图象顶点是(2, 3),且过5),求二次函数的解析式解：设二次函数解析式为：y = q(x + k,图象顶点是(-2, 3)h=-2, k=3,依题意得：5=a(-l+2)23t解得：a=2. y = 2(x + 2)2 + 3 = 2x2 + 8x + ll六、两根式已知图像与X轴交于不同的两点(%1, 0),(%2, 0),设二次函数的解析式为y =根据题目条件求出a的值.例、图像与x轴交于(-2, 0), (4. 0)两点，且过。，一求二次函数的解析式解：设二次函数解析式为：y = q(x - x1)(x - x2).图像与x

5、轴交于(-2, 0), (4, 0)两点，X1=2, %2 = 4依题意得：-g = (l + 2)(l-4) y =2( + 1)(% -4) = i2 -x-2.七、翻折型(对称性)已知一个二次函数y = + b% + c,要求其图象关于轴对称(也可以说沿轴翻折);Y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称，(也可以说抛物线图象绕顶点旋转180。)的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = (x-2)2 + k的形式.(1)关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数.(2)关于Y轴对称的两个图象的顶点关于Y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同

6、.(3)关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数例、已知二次函数y = 3/ - 6x + 5,求满足下列条件的二次函数的解析式：(1)图象关于x轴对称；(2)图象关于y轴对称；图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称.解：y = 3/ - 6 + 5可转化为y = 3(x- 1)2 + 2,据对称式可知图象关于X轴对称的图象的解析式为y = -3(% -1)2- 2,即：y = -3x2 + 6% 5.图象关于y轴对称的图象的解析式为：y = 3(x + 1)2 + 2,即：y = 3x2 + 6x 5;图象关于经过其顶点且平行于轴的直

7、线对称的图象的解析式为y = -3(% - 1)2 + 2,即 y = -3x2 + 6% + 1,八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的.例、如图，已知抛物线y =-，/ +力工+ C和x轴正半轴交与A、B两点，AB=4, P为抛物线上的一点，他的横坐标为-L ZPA0=45ot cot PBO = (求P点的坐标；求抛物线的解析式.y a解：设P的坐标为(-1. y), P点在第三象限y0,过点P作PM，X轴于点M.点M的坐

8、标为(-L 0)BM = BA + AM. ZPA0=45o.PM=AM=y=-y一 ddc 8M4-y7 cotPBO =一PM一 y3y=-3.P的坐标为(-L -3):.A的坐标为(2, 0)将点A、点P的坐标代如函数解析式.v+/127 0 = + 2b + c-3 = 1 h + c解得：b=|；C = -y抛物线的解析式为：二次函数解析式求法方法总结及专题训练方法一：一般式 y = ax2 +bx + c（a 0）题目条件特征：任意给定三个点，无明显规律，我们一般设一般式来求解。例1：已知二次函数的图象经过A （0, -1）, B （1, -3）, C （-1, 3）三点，求这个二

9、次函数的解析式。变式训练1：已知二次函数y=ax2bxc的图象经过A （2,0），B （0，1），C （4, 5）三点.求二次函数的解析式变式训练2：已知在平面直角坐标系xy中，二次函数y=a2 + bx+c的图象经过点A （1，0），B （0，-5），C （2，3）.求这个二次函数的解析式。方法二：交点式（两点式） y - a（x-xl ）（x-x2）题目条件特征：给定抛物线图象并标出与x轴的交点，或给定的已知点为（修，0）和（，0）的形式，一般设成两点式。例1：已知抛物线的图象如图所示，求它的解析式.例2：已知抛物线经过三点A （ - 1，0），B （4，0），C （0，-2），求抛物线的

10、解析式。L变式训练1：根据图中条件求抛物线的解析式.变式训练2 ：已知抛物线y = ax2 + bx + c （a0）经过点0），（0，4），求此抛物线的解析式。2 ，0） ，（3 ，方法三：顶点式y =。（l-力）2+Z （a0）题目条件特征：给定顶点坐标例1 ：已知抛物线的顶点坐标是（3, -1）,与y轴的交点是（0, -4）,求这个二次函数的解析式。变式训练1 ：已知顶点坐标为（1,3）,且过点（3,0）,求抛物线的解析式。变式训练2:若二次函数的图象的顶点坐标（2, 1）,且经过点（1, -2）,求二次函数的解析式。小测1 .已知抛物线 y = a2 + bx + c （a0）经过点（- 4，0），（3，0），（0，4），求此抛物线的解析。2 .已知抛物线经过点A （1，0），B （0，-3），且对称轴是直线x = 2，求此抛物线的解析式。3 .二次函数y=2+x+c Qwo）的图象过点 4 （ - 1, 8）、B （2, - 1）,与 y 轴交于点C（0, 3）,求二次函数的表达式.4 .抛物线的顶点为（-1, -5）,且过点（2, - 17）,求它的函数解析式.