作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）（含答案）.docx

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1、作辅助线证明三角形全等-截长补短（培优篇）（含答案）一、解答题1. （1）阅读理解：问题：如图1,在四边形A8C。中，对角线8。平分A8C, ZA + ZC = 180.求证：DA = DC.思考： “角平分线+对角互补可以通过“截长、补短等构造全等去解决问题.方法1：在上截取8W = 84,连接/W,得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点N,使得BN = BC,连接ON,得到全等三角形，进而解决问题.结合图1,在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明. （2）问题解决：如图2,在（1）的条件下，连接AC,当D4C = 60。时，探究线段A8, BC, 8。之间的数量关系，并说

2、明理由；（3）问题拓展：如图3,在四边形43CQ中，ZA + ZC= 180o, DA = DC,过点。作。，8C,垂足为点 请直接写出线段A3、CE、4C之间的数量关系.图1图2图32.在8C中，4）为口48C的角平分线,点E是直线8C上的动点.（1）如图1,当点E在C8的延长线上时，连接/1E,若E=48% AE=AD=DC,则口8C的度数为 （2）如图2,4046,点P在线段力。延长线上，比较40+6P与N8+C用之间的大小关系，并证明.（3）连接若D4E=90, BAC=24of旦满足4B+*C=EC,请求出4cB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）.图1图23 .等边ABC中，点”

3、、K分别在边3C、AC,且AK = CH,连接AH、BK交于点F.(1)如图1,求/4F8的度数；连接CE若449。，求写的值；(3)如图2,若点G为AC边的中点，连接FG,且A尸二2尸G,则N3EG的大小是4 .如图1,在等边三角形A3C中，AT,3C于。,C石_LA8于EAD与CE相交于点。.(1)求证：OA = 2DO；(2)如图2,若点G是线段A。上一点，CG平分N3CE,N3G尸= 60o,G/交C所在直线于点尸.求证：GB = GF.(3)如图3,若点G是线段。4上一点(不与点。重合)，连接8G,在8G下方作N3GE = 60。，边GF交CE所在直线于点尸.猜想：OGQF、。4三条

4、线段之间的数量关系，并证明.5 .如图，是边长为1的等边三角形，BD = CD, /BDC = 120。，点E ,尸分别在A5, AC上,且/切尸= 60。，求尸的周氏.6 .如图所示，ABDC, ABAD, B石平分 NA3C, CE 平分 /BCD ；（1）求A氏CO与8C的数量关系，并说明你的理由.（2）若把条件去掉，则（1）中AR C。与8C的数量关系还成立吗?并说明你的理由.7 .如图所示，已知/C平分A4D, Z+ZD=180o, CELAB于点E,判断力& 4。与BE之间有怎样的等量关系，并证明.8 .如图，在正方形A8CD中，点七起射线3C上，连接AE,作石/_1_4石，且尸交

5、正方形外角的平分线C77于点尸.（1）若点E在边3C的中点处时，AE EF （填或=”）（2）若点上为边8C上的任意一点（不含点8, C）,探究此时AE与石尸的数量关系，并说明理由.（3）若点E是边/SC延长线上的一点，探究此时AE与叮的数量关系，并说明理由.E9 .阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图1,在四边形ABCD中，BAD=C BCD=90o, AB=AD,若 AC=2cm,求四边形 ABCD 的面积.解:延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明BAEnDAC,根据全等三角形的性质得AE=AC=2,EAB

6、= CAD,则 EAC EAB BAC DAC BAC BAD=90o,得 S 四边形ABCD=SABc+SziADC=SaABc+SAABE=SaAEC,这样,四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积.（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2.（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题.如图 2,已知 FG=FN=HM=GH+MN=2cm, G=N=90o,求五边形 FGHMN 的面积.10 .把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD,以D为顶点作交边AC, BC于点M, N.（1）如图（1）,若48 = 30。，/MDN = 60。,当NM

7、DV绕点D旋转时，AM, MN, BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2）,当NACQ+NMDN = 90。时，AM, MN, BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M, N分别改在CA, BC的延长线上，完成图（3）,其余条件不变，则AM,MN, BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）.11 .已知等腰匚ABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DEBC,交直线AC与点E,且BD=BC, CHDAB,垂足为H.（1）当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线

8、段AB延长线上时，如图3,直接写出。，BH, OE之间的数量关系，不需要证明.图1图2图312 .如图，正方形力8C。的对角线相交于点。.点七是线段。上一点，连接CE.点尸是口OCE的平分线上一点，且8尸b与C。相交于点，点G是线段CE上一点，Jt CO=CG.（1）若 0F=4,求 RG 的长；（2）求证：BF=OG+CF.13 .在数学活动课上,数学老师出示了如下题目:如图:i,在四边形43C。中，后是边C。的中点，AZf是A。的平分线，AD BC.求证：AB=AD+BC.小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图口，延长AE、BC交于点F .方法2：如图口，在上取一点G,使AG = AO,连

9、接EG、CG .（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图一在四边形48CD中，AE是/BAD的平分线，E是边C。的中点，Z4D = 60o, NO += 180。，求证:CB = CE.14 .如图1,在ABC中，ZAC3是直角，ZB = 60o, AD , CE分别是NfiAC、NBC4的平分线，AD. CE相交于点尸.（1）求出N7C的度数；（2）判断此与F。之间的数量关系并说明理由.（提示：在AC上截取CG = CO,连接/G.）（3）如图2,在A3C中，如果ZAC3不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE1、C。与AC之间的数量关系并说明理由.15 .阅读

10、下面材料，完成(1)-(3)题.数学课上，老师出示了这样一道题：如图1,已知等腰UABC中，AB=AC, AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边匚ABE,直线CE与直线AD交于点F.请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现匚DFC的度数可以求出来.”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系.”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决.”老师：”若以AB为边向AB右侧作等边ABE,其它条件均不改变,数量关系，并证明你的结论.”(1)求DFC的度数；(2)在图1中探究线段EF、AF

11、、DF之间的数量关系，并证明；(3)在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系,B D cbc请在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF三者的并证明.图1图216 .数学课上，小白遇到这样一个问题：如图 1,在等腰RA3C中，ZBAC = 90o, AB = ACt AD = AEf 求证NAAE=NACQ；在此问题的基础上，老师补充：过点A作于点G交8C于点尸，过尸作EP,CD交跖于点入 交C。于点”，试探究线段80，FP,之间的数量关系，并说明理由.小白通过研究发现，NA尸B与/有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论.阅读上面材料，请回答下面问题：(1)求证NABE = NACD；(2)猜想AAC = 60 .AQC为等边三角形. AC=ADf ZADC = 60.ZCD + ZE=180. ZABC = 360 -180 -60 =120 . /PBA = 180 - ZABC = 60