求极限的几种方法.docx

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1、求函数极限的方法和技巧摘要：本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例：用极限定义证明:1.x3x2Iim=1x2x-2证:4x+4x2U-2)2X2=x-2VeO取b=e则当OVk-2|6时，就有x2-3x+2,1X2.由函数极限3定义有:1.x?3x+2Iim=1

2、x2-22、利用极限的四则运算性质若Iim/(x)=AIimg(x)=Bxxqx.r0(I)Iim1y(X)g(x)=Iimf(x)Iim(x)=ABXxax(II)Iim/(x)g(x)=Iimf(x)Iim(x)=ABxxx.r0(In)若B0则:Iimf(x)a1imWA2=g(x)Iimg(x)BXT%(IV)1imc(x)=c1im/(x)=c(C为常数)XX上述性质对于Xf00,XyO,X-OO时也同样成立例：求iim+3x+5x21+4解:HmJFX+5=232+5J2+42+423、约去零因式(此法适用于00*型例：求Iim3-3/-1Ox)+(2/-6x-20)+5厂+6x)

3、+(2x-+1OX+12)-2X+7x+16x+12解：原式二Iim.v-2-1.(x+2)(x2-3x-10)一Iim；2(X+2)(x+5x+6)-1.(x2-3x-10)-r(x-5)(x+2)x-2(2+5x+6)XT-2(+2)(x+3)_vx-5_Iim=-7XT-2%+34、通分法（适用于8-8型）例:Iim(-r24-212-X解:原式二Hm.r24-(2+x)(2+x)(2-x)=IimX-2(2-幻(2+x)(2-x)=Iim-Z22+5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)设函数f(x)、g(x)满足：(I) Iimf(x)=Oxx,(

4、II) gMM(M为正整数)则：Iimg(X)f(x)=OV例：求Iimxsin-XTO解：由IimX=0而sin1x0X故原式=Iimxsin-=OxX6、利用无穷小量与无穷大量的关系。(I1)若：Iimf(x)=0且f()O则Iim=OO/(X)例：求下列极限7、等价无穷小代换法设a,a,B都是同一极限过程中的无穷小量，且有：aa、,Iim2存在，则Iim也存在，且有Iimq=Iim2例：求极限Iima0XSinx解：sinx2-X2,-cos/*)21. I-Cosx2_21，Iim-=-XToXSinJrXX2注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出

5、现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。(A)Iim=1(B)Iim(1+-)r=eX0XX0X但我们经常使用的是它们的变形：(A)Iim强巡=)(P(X)(BjIim(1+严=ei(M)。(幻例：求下列函数极限、Iimw1Jim川沁0XIncosbx解：(D令,-I=,则X=In(I+“)于是止I=InaXIn(1+u)又当JVOH寸，M03士Vcx-winavIna1.Ina.故有：Iim=um=Iim=Iim=InaXfoXm01n(1m)h01n(1+m)-。-1n(1+w)u、原式=Iim1n(CoS一1)1x01n1+(c

6、osbx-1).1n(1+(cosax-1)CoSbX-I=IimXToCOSaX-Icos6zx-11n1+(Cc)SzzX-1)cos/jx-11.CoSbX-I=IirnJcosr-1=Iim0-2sin2I-2sin22X=IimxOX9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。若/(x)在X=/处连续，则Iimf(x)=/(x0)*T()若/Ie(x)是复合函数，又IimG(X)=。且餐/()在=。处连续，则Iimf(x)=/1imO(X)=f(a)xax.Vq例：求下列函数的极限(I)Jim1,n0).v+qx解：当x1时,存在唯一的正整数k,使kxk+1于是当n0时有：

7、X”(2+1):又,当x+时，k+有r(&+Dr(&+DnnIim=Iim。=0。=0&T+CO/J1-cQk+*RvknH1CInZX,Iim-r=Iim-=O-=O-oaJycaaIim=0Xx*Qx12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限Iim/(X)存在且等于A的充分必要条件是左极限Iim(x)及右极限Iim/(x)都存在且都等于Ao即有:Iimf(x)=AO1imf(x)Iimf(x)=AXTKOXTXGXTH-2e-x0例：设/(x)*t出,0x0又.Iimf(x)=Iim=Iim(Vx-1)=OXT1-1(XXT1Iim

8、f(x)=IimX2=1由/(1-0)(1+0).Iimf(x)不存在113、罗比塔法则(适用于未定式极限)定理：若(Z)Iim/(x)=O,Iimg*)=OXX0X()g在的某空心邻域w()内可导，(X)a0IimE=A(A可为实数，也可为too或8),则-g(X)1fM1fMaIim=Iim：=AXTxog(x)XTXog(X)此定理是对号型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简

9、以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当IimzM不存在时，本法则失效，但并不是说极限XTag(X)不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限Iim-+(2)Iim屿0,x0)D1n(1+x2)/解:令f(x)=-(1+2x)%,g(x)=1n(1+x2)3=1+2x)%,g(*)=i/(x)=ex+(1+2x)-%,g(x)=?(1+x)-由于/(O)=/(O)=0,g(0)=g(0)=O但f(0)=2,g.(0)=2从而运用罗比塔法则两次后得到Iimx0er-(1+2x)1n(1+x2)=Iim0-+2x)-%2x1+x2=Iim

10、.v0+(1+2x)2(1-x2)()2由IimInX=8,Iim4.rX=故此例属于方型，由罗比塔OO1.InXvIun=Iim法则有:=Iim=0(0,X0)x*caxa14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、ex=1+x+-+-+o(xn)2!！352n-12、sinxx11-+(1)1Fo(x-)3!5!(2/7-1)!丫242n3、 COSX=I-+-+(-1)n-+o(x2n+,)2!4!(2n)!4、1n(1+x)=x-+(-1)m,-+(xh)2n:/iaC1CtI)ICtCtI),(Z1).,n0(1+x)=1+X+-X2+-x,+o(xn)2!n6、=1+x+x2+xn+o(x)1-x上述展开式中的符号。(/)都有：Iim如2=o1。X”例：求IimZoX解:利用泰勒公式，当x0有J+x=1+O(X)2于是礴Ja+2x-ya+X15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件:(I)f