含三角背景函数专题.docx

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1、含三角背景函数专题三角函数背景的原函数特点：1 .求导依然是三角函数，和其他函数运算零点大多是无理数，不易估值；2 .正余弦有界L,D放缩后对原函数估值影响不大，常用有界性放缩；3 .有周期性的函数，分段研究或分象限研究；4 .泰勒展开式可以放缩为多项式(特别是一次、二次)，方便其他函数运算;1 .已知函数(%) = e+sin无一公.(1)若x = 0是函数(x)的极值点，求实数的值；若0,证明：当x2 + 2时,f(x)6.解析：(1) ft(x) = excosx-af由题意(x)()恒成立，贝J/(0)为(x)的最小值.由(x)为上的可导函数且图像连续不断.所以汇=0为/(力的一个极小

2、值点，所以(0) = + lj = 0,解得2当 4 = 2时，f,(x) = ex +cosx-2当x0时，r(x) = (e-l) + (cosx-l),由el,贝!)-l0,且cosx-l0所以当x0时，(x)0,则(x)在(-Q上单调递减.当x0时，(x) = e -sinx,由e 1, sinxl,则(x) = e -sinx0所以/(力在(0, +上单调递增，则/(x) (0) = 0所以/(外在(0,+ 8)上单调递增.故(x)在(口叫上单调递减，在(0,+ 8)上单调递增，当 4 = 2时，(x)(0)成立(2)当0时，由 x2 + 22f,(x) = ex + cosx-a9

3、 贝J fn(x) =，-sin x ()在 2 + 2上恒成立所以广(力在(2+24 + 8)上单调递增.r(x) ,(2 + 2cz) = e2+2 cos (2+2) 4 2 + 3+cos(2 + 2)一4 = cos (2 + 2) + 3 0补证x + l (略)所以 r(X) r(2 + 2。) 0,则 / (x)在(2+267, + 8)上单调递增.所以 (x) (2 + 2) = +2+sin(2 + 2o)-a(2 + 24)sin(22)-l,所以F(2+2) = IQ+sin(2+2a)-=(2+加经*2。-1一o(2+勿)设 g() = +2 7-6z(2+2q) (

4、)贝(j g(4) = 2e2+2a-4a-2,又 g(4) = 4e2+2ii-4 = 4(2+2-l)0所以/()在(0,)上单调递增，则F(4) /(0) = -2 0所以g()在(0，+ 8)上单调递增，则g()g(0) = 7272-l6所以 (x)(2+2)g(a)6所以若0,当x2a + 2时J(尤)6成立.J J2 .已知函数(x) = cosx-0,其中qR, x(1)当时，求函数“X)的值域；z 、 jr r(2)若函数(X)在-天不上恰有两个极小值点巧，凡，求。的取值范围；并判断是否存乙 乙在实数。，使得-王)=1 + /-X)成立？若存在，求出。的值；若不存在，请说明理

5、由.2、解：(1)当=一;时，(x) = cosx + 2 ,则 r(x) = -sinx + x. 一设 g(x) = (x),则，(=-831 + 1,3 -y,y .显然g(x)N.g(x)在 - ,g 上单乙 乙乙 乙调递增.又g(0)=0, 当9,o时，()o. 在卜,0、L 2 12i 2 J上单调递减，在上单调递增.(o)=i, /佰=小力=，函数/(”的值12J / (2) ,(-x) = cos(-x)-(-x)2 =cosx-0x2 =(x), (x)是一不上的偶函数.函数小)在上恰有两个极小值点”等价于/(x)在(吟上恰有一个极小值点.因 (x) = -sinx-20r,

6、设 z() = r(x),贝(x) = -cosx-27 .(x)7(0) = 0 .当“0时，(x)0,则(同在0,g上单调递减. L)则r()o,此时X)在上单调递减，无极小值.I/./?(X)/7(O)=O .)0,则M)在o,g上单调递增.I 乙)jr则r)o,此时/(X)在(),-上单调递增，无极小值.乙)当一0 时，存在/ 0,q,使(不J = -cosN)-2 = 0.当x(0,%)时，(x)05/ / 当x/5 时，”(力0.，碎)在(。,升)上单调递减,在 工,上单调递增.)(0) = 0,y)(/)当一l-Q)0,即一0, S-a0 .22= -sin-24 = 0. (*

7、)/( z当x(0)时，/。)0.乙)上单调递增.函数X)在。卷上恰有一个极小值点x2=.此1。的取值范围为(一:，一，).+9=。，若/(/- 2 7jc4214 2cos 2x0 - 4qk = 1 + x；-29 -由(*)式，知sin%2= -2”.7-8/-44=1 + ,八/11、.1*1。 一 ;， = 一； c = 9 2 )33Wo,此时()在。彳上单调则存在，,使得.j(x)在()/)上单调递减，在上：时，x = 0是函数“X)的极大值点.西)=1 + 1(工2 -西)2，则1整理得*(3 + l)(64 + l) = 0.使得/(% - ) = l + g(%2 - MF

8、 成立.f .(xo)O 又 =-a ,定义在(-全，+8 )上的函数/(欠)=(x -A)sinx.(D当人=/时,求曲线,=/(，)在点(京,。)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积;(2)将/(4)的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列反/，若/(/)+/(3)=0,(1)时，(x) = (x-y)sinx , f(x) = snx + (x-)cosx,故/吟) = sin = 5故切线方程为y = 4(x-f),令x = 0, y = -g.所求三角形的面积为1-2工=3二2612212 6 144(2) f x) = sin x + (x - A:) cos x =cosx(

9、tanx + x-).当一xf时，函数y = tanx + x在区间(,)上递增，且值域为R,故存在唯一与 g(-j,),使得tanx+Xo=h当-xXo时，(x)0, (x)单调递减；当Xox0 , (x)单调递增，因此x=Xo同理，存在唯一汇(,与)，使得tanxo + x。=%.此时当1x0, (x)单调递增；当/x0, (x)单调递减，因此X2=% 2由(xJ = O,%一4= - tan, (x1) = -sm X| =cosxl.cos xicos x1= rm、 sin,1同理： f(x2) = cosx-cosx2 cosx2由 f(x) + /(X、) = 0 ,整理得：(c

10、os xl + cos x, )(15) = 0.cosx1 cosx2X-yX yX2,故 COSXl COSX2 1，则有 COSXj = -COSX2 = COS(x2 -4)故X=工2 一4或X =(x2 4)由x.- + tanx. 金 兀所以X=一(工2-乃)，即凡+工2=乃，则= = .综上所述，k = Q.已知 f(x) = 9炉-qx+sin% (qR), gx) = kn 7x2 + 1 + cosx - 1 (kR)6(1)记f(x)的导函数为(x),讨论尸。)在定义域里上的零点个数；(2)若对x-l,l有g(x)0恒成立，求攵的取值范围.(1)求导得)=T2 + cos

11、x-.记 F(x)=f(x). F(x)是偶函数，只需考虑 x0.F (x) = x - sinx, F(x) = 1 - cosx 0 故F (%)在况上递增.则 x 0 时，有 F,(x) F,(0) = 0,故 F(x) = f(x)在 x 0 上递增.若QV 1,则尸(0) = 1-q0.又尸。)在x0上递增，故尸(幻在x0上无零点JS)在况上无零点若q = 1,则,(0) = l- = 0.又f(x)在x 0上递增，故f(x)在x 0上无零点，从而/m(x)在况上恰有1个零点x = 0.若 1,则/ (0) = 1 - x2 - (1 + a),故当x2T时，fG) 0.结合f (%

12、)在x0上递增及零点存在性定理可知，3x0 (0,2)使得 ,(x0) = 0当 W (OKo)时，f %。时，f( 0故尸。)在% 0上恰有1个零点，从而f(x)在上恰有2个零点-x0与综上所述，若Q V 1则尸(幻无零点；若Q = 1则r(外恰有1个零点；若Q 1则尸(%)恰有2个零点.(2)由(1)可知，q = 1时，,(x) 0,故/。)在无0上递增，从而x0时，(x) = i3 - x + sin x /(0) = 0.即 sin % x-x3.61又由(1)知，x0 时，F(x) = x-sinx F,(0) = 0,故 x0 时，x -x3 sinx x. (*).kx 6g(x)是偶函数，故只需考虑0J.求导得g,W=-r-sinx.以下对k进行分类讨论.k 1时，由式(*)可知，x0,l时，有, kxx /1 x3(x2 - 5)g (x) = 57 -sinx -5- - %-xs - -5_TV -x2 1x2 +1 X 6 /6(x2 +1)故k 1时g(x)在 0,1上递减，从而g(%)g(O) = O成立.由g(%)是