增量比值函数 (1).docx

《增量比值函数 (1).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《增量比值函数 (1).docx（27页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、传统上利用增量比值函数(进而0/0 = k)与新提出的基于新导数定义的增量函数(进而0= k0)求导的本质不同以及相关问题的研究与评论一-顺便简评马克思的求导观点及极限法求导不成立的一个比喻沈卫国内容提要：在前期论文的基础上，具体论述了传统上利用增量比值函数求导与笔者新提出的、基于新导数定义的利用增量函数求导的本质不同。在基于增量比值函数求导时，有贝克莱悖论的困扰，即使极限法微积分求导其实也没有解决这个问题，而只是利用繁复的一套本质上同义反复的概念的罗列来模糊、弱化、掩盖这一悖论而已。而增量函数不是比式，没有分母，所以根本不会再有涉及分母上的自变量为0与否的贝克莱悖论。在新导数定义下,完全可以

2、就以曲线上两点的增量，就是过此二点的割线的增量这一事实，把求导由关注曲线的增量转移至割线的增量。而一旦得到切线方程的系数，就等于得到了切线的斜率。按新定义，它就是该曲线的导数。在这些问题澄清后，专门讨论了物理量纲相关的问题，并提出一个类似公理性质的原则。还讨论了马克思对微积分求导问题的观点，使他的正确意见更加坚实可信。其后给出了一个极限法求导不能成立的形象化的比喻，以求加强读者理解。然后,对一些相关问题进行了讨论，并提出应用前景。关键词：导数的新定义；增量比值函数；增量函数；导数；贝克莱悖论；最终比；最终不比；曲线的增量；割线的增量；切线的增量；直线方程的系数；切线方程的系数；斜率;曲线方程；

3、直线方程；割线方程；切线方程；马克思；欧拉；罗素；陷阱；函数值；可达极限；不可达极限；不定式；新公理；规则；完备性1、传统上利用增量比值函数(进而0/0 = k)与新提出的基于新导数定义的增量函数(进而0 = k 0)求导的本质不同为求简单直观起见，如以往一样，仍以二次曲线情况为例予以讨论。把求二次曲线的增量比值函数yx=k (x, x) = (2x+x)在4x = 0 之值代入后，有0/0 =k (x,0) = 2x + 0 = 2x(1)此即著名的贝克莱悖论。其产生的缘由，是公式中的*、y是二次曲线与其割线的两个交点的坐标差，也就是增量。在曲线上的两个点合二为一时，其纵、横坐标的增量当然都

4、是0,没有比值(比值此时为0/0),或不能以两个0相比、相除。这说明如果2x是导数的话，用这种方法不应该求出它来。或者虽然明明“求”出来了，或看见它就在等式右边了，但解释不了何以2x竟会等于0/0。总之，用直角坐标系中的一个点，是无法直接定义需要起码两个点才有所谓“增量”进而才可以定义的纵、横坐标的增量比的。而如果我们不以分母上有自变量4x的增量比值函数求导数，而仅仅以无分母的增量函数求导，情况则大不一样。如二次函数的增量函数为y = k (x, x) x= (2x+x) x,当4x = 0 时，有 0 = k (x, 0) 0= (2x+0) 0=(2x) 0o 求出了切线方程的系数或斜率k

5、 = 2x。(2)注：由于2式没有分母，我们当然可以两边取趋。极限值。因为此时函数值就是其可达极限值。此时的极限值仍旧是。二 k (x, 0) - 0 = (2x+0) 0 = (2x) 0o我们注意到，增量函数根本就没有分母，因此也不存在分母上的自变量及其变不变0的问题。而二次曲线(任何曲线都一样)与其割线的两个交点的增量为曲线与割线共有,因此二者的方程其实一样。上面的式子中的k,就是写成割线方程时线性方程的系数。而众所周知，线性方程的系数，就是该直线的斜率。而Ax = O时或时，两个交点合二为一，割线变切线，我们求的不就是切线的系数或斜率吗？于是可以看到，只要把通过增量比值函数yx的求导，

6、改成增量函数求切线方程的系数k,就等于求出了切线斜率k,也就是求出了二次曲线在x点的导数。之所以可以如此去求，是由于尽管O = k（x,O） 0= （2x+0） -0二（2x）-0式中*、Zy此时都是0,对应于切点，即切线上的一个点，但只要切线还是直线，它就有系数，就有斜率。这个斜率不是由其与曲线的交点这一个点来决定的，而是由该切线上的任何其它两个间距不为0的点决定的。我们可以写为4y4x尸2x,以示区别。这里，Zx分别是切线上的任意两个点的纵、横坐标差（间距、增量），起码有其中的一个点（另一个点是切点），根本就不在曲线上（甚至两个点都完全可以不在曲线上也无妨）。而且很重要的一点是，这里的线性

7、方程的系数就是其斜率的结论，并不需要临时证明，比如证明4y4x= 2x式子的正确性，这个关系是早就被证明了的，随便什么中学的教科书都可以看到，它是直线的“斜截式”方程所固有的性质。无需重新证明，直接求其系数即可。笔者发现在与一些人讨论时，不少人居然说你说没有分母了，但你求斜率时不时还要有分母云云。只能说，这些人的基本知识不够或忘了。特别说明一点，这里之所以强调我们的求导求的是切线方程的“系数”，而有意弱化求其实与之完全等价的切线的斜率,是在与一些人的讨论中发现,如果说求的是切线方程的“斜率”，不少人又会说斜率由一个比式决定，比式不是还要有分母吗？有了分母，其上的自变量不是还有个为不为0的问题吗

8、？不得不说，不少人为了一个几乎固化了的、为大多数人都熟知的观念、理论的辩护或狡辩简直到了无所不用其极的地步。如果这些人把放在这里的精力或“才智”拿出哪怕百分之一搞创新，也足可以搞出些名堂来了。这是些题外话了。言归正传。我们强调“求系数”而弱化其实与之完全等价的“求斜率”，就是为了杜绝任何理解上的偏差，使得那些糊涂的反对理由，再无“发力”处。我明确告诉你，求的就是个直线方程（不过此时为切线而已）的系数，好吧？没有什么分母不分母的。此时的分母就是有也是另外的，不为0的，仅仅处于切线上的任何两个点所决定的，而不是这里一个交点下的0o提出求的是“系数”，就是叫这些“辩护士”再也无话可说，我也省得再多啰

9、嗦。最后当然了，再加一句：求出的系数就是斜率！还不明白的请回去翻初中数学课本。总之，求切线的斜率，不是非得像传统牛顿、莱布尼兹求导法（所谓第一代微积分）或柯西的极限法（所谓“第二代微积分”）那样，非得明确写出一个比式，即以为这个比式唯一地决定了这个所欲求的斜率（如此的话当然会有当二0时，XN = 0/0的问题）。不是的。一条直线的斜率（方程的系数），由该直线之上的任何两个点都（或“就”）可以决定，完全不必拘泥于任何指定的两个特定的点，也更不可能是由该直线上唯一的一个点决定的。知道这个就够了。其它我不必多解释了。如果我们还承认导数就是切线的斜率，或者起码在数值上等于切线的斜率，那么由前面的求切线

10、的增量函数在自变量=0时的系数k （x, 0）,不就求出了这个切线的斜率了吗？何必非要通过分母上有的增量比值函数在Ax = 0时的0/0 = k （x, 0）来求呢？这不是往贝克莱大主教的枪口上撞吗？事实上，人们之所以固执地非要这么去求，主要是以为求出的导数虽然在数值上等于是切线的斜率，但仍旧是曲线本身的性质。因此必然陷入悖论之中（牛顿的把分子上的无穷小自变量莫名其妙地舍弃，而分母上的自变量不得不变为0）,即使把它看成是曲线上某点的一个不可达极限也不行（具体分析见笔者前期文章，此不赘述）。实际上，这不能不涉及到导数、瞬时速度的定义问题。如定义成曲线上与其割线的两个交点之间的纵、横坐标的增量比y

11、4x （即曲线方程的因变量或函数与其自变量之比），则在该二点合为一点，割线变为切线时，必然有y4x = 00的问题。即在4x = 0（明显时）或ax-0时（隐蔽时），yZx必然只能等于0/0,这当然是无意义的。但如果把导数或瞬时速度一上来就直接定义成两个交点合二为一时，真正意义的切线的系数，即其斜率,则这个斜率或切线的系数，自然并不由单独的一个切点来决定，而是切线上任何的两个点（其距离或增量自然不为0）来定义，则再无0/0之类的问题。当然，这不得不涉及导数或瞬时速度的重新定义问题。总之，决定切线系数或斜率的那任意的两个点，只能在切线上不会在曲线上。并且当然有无穷多对。曲线与其切线只是“共用”一

12、个单独的切点。但谁都知道，空间中的单独的一个点（哪怕它是“切点”）是无法定义、确定一条直线（当然包括切线）的斜率或系数的。所以此时缺少的另一点只能在切线本身上找，而不能在曲线上找。实际上，前面已经说了，曲线的增量，就是过曲线上此两点间的割线的增量，它们实际共用同一个Ay,二者完全相等。这其实是常识，根本无需多说。但以往此点居然未被人们意识到或重视。起码在任何介绍微积分求导过程的教科书中没有任何表述。只是一味地拘泥于曲线上两个点间的距离（增量）在趋于0或等于0时的增量比4yZx.纠结于此，问题根本就不会得到解决。因为曲线就是曲线，直线就是直线。曲线再小哪怕是无穷小，也是“无穷小的曲线”；直线再小

13、哪怕是无穷小，也是“无穷小直线”，二者在无穷小段也是不同的（如果存在这个无穷小的话）。不存在在无穷小段二者可以“曲化直”的可能。如果可以,那就是在无穷小段二者等价，如此，为什么不说“直化曲”呢？正确的做法或认识应该是:把曲线的增量Ay就直接看成是其割线的增量Ay,公式中的k就是这个割线的系数（斜率，按直线的“斜截式方程”），是它固有的。而当曲线与割线的两个交点合二为一时，虽然曲线上只剩下了一个切点，但该点的切线仍旧如其为割线时一样地具有作为直线性质的系数,也就是其斜率。它并不由该切点一个点来定义或确定，而是取决于切线上的任意两个点的纵、横坐标差（当然都不为0）之比。既然如此，我们自然就不应该再

14、去写那个分母上的。了（因为增量函数根本就没有比式4yZ）。贝克莱悖论自消。且导数或瞬时速度获得或恢复了其本来应该有的真实面目。这个所谓的“真实面目”，其实就是人们写满教科书的那个众所周知的、但按以往的导数定义其实并不严格的说法“导数就是其切线的斜率”。但现在应该加上“真正意义的”几个字，因为它不仅仅是数值上相等的问题了。如果有人说你这个导数的新定义不新啊，过去不都是这么说的吗？如果果真如此，好，就请按笔者这里的求导方法去求导。彻底改变教科书中的繁第而矛盾的极限法求导。如果还坚持教科书中的求导方法,那么只能说明原先所求绝非真正的本原意义的切线斜率。它们只是在数值上等于切线斜率。牛顿那里，实际说不

15、清楚；极限法那里，是个实际并不是比式的不可达极限，况且这个极限还不存在（也是0/0,见笔者前期文章）一一实际还是没有说清楚。他们实际上都认为导数虽然数值上为切线的斜率,但实际上是曲线的固有性质，唯一地由曲线上的点来决定。如此，才有也必然有贝克莱悖论问题。按笔者的诠释及导数定义，根本不可能有贝克莱悖论。这里提出的“最简求导法”，简略地表示为0 = k-0；与传统求导法，简略地表示为0/0 = k,看似差别不大，但却有本质的不同：0 = k-0中的k,就是堂堂正正的切线系数或斜率，也就是笔者所谓的“导数的新定义”。它仅仅取决于切线上的任何两个点，它就是切线作为一条直线的的性质。而传统导数定义对应于0/0 = k中的k,只能由切线与曲线的交点决定。虽然它也是切线的斜率。但去U “试图”用曲线上的点来唯一地决定，这当然会导致0/0, 一个点的增量当然是0,无论其横坐标（自变量）还是纵坐标（因变量、函数）。二者之比，当然是0/0。这就是贝克莱悖论产生的本质。在这种思路下，无论是牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分求导”还是柯西的极限法“第二代微积分求导”，都不可能提供一个完备的、无矛盾的解释