【人教A版必修】第2章一元二次函数（纯Word版）.docx

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1、第2章一元二次函数、方程和不等式【章头语】相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系.我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式,再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.在初中,我们已学过一次函数与方程、不等式,还学过二次函数与一元二次方程,知道方程(组)、不等式与函数之间具有内在联系,可以用函数的观点把它们统起来,这是数学知识的联系性与整体性的体现.本章将在初中学习的基础上,通过具体实例理解不等式,认识不等关系和不等式的意义与价值;在梳理等式性质的基础上,通过类比,研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式一一基本不等式;通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次

2、不等式的现实意义,理解一元二次不等式的概念,并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样,利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题,从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.2.1等式性质与不等式性质【节引言】在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等.类似于这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等.相等用等式表示,不等用不等式表示.问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？某路段限速40kmh;(2)某品牌酸奶的质量检查规定,

3、酸奶中脂肪的含量/应不少于2.5%,蛋白质的含量P应不少于2.3%;(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为ukmh,“限速4Okm/h”就是U的大小不能超过40,于是0VU440.【思考】你能写出其他的可能情况吗？对于,由题意,得匕*鬻(PZ.3%对于(3),设44BC的三条边为,b,c,则Q+bc,a-bc.0对于(4),如图2.1-1,设。是线段4B外的任意一点,CD垂直于48,垂足为D,E是线段AB上不同于。的任意一点，则COCE.以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不

4、等式.C图2.1-1接着,就可以用不等式研究相应的问题了.问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?设提价后每本杂志的定价为X元,则销售总收入为(8-*X0.2)%万元.于是,不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为/X-2.5(80.2)X20.求出不等式(1)的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式(1)呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出

5、了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2,设Q,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么，当点4在点B的左边时,ab.ABBAab图2.1-2关于实数,b大小的比较,有以下基本事实：如果-b是正数,那么Qb;如果Q-b等于0,那么=b;如果-b是负数,那么QVb.反过来也对.这个基本事实可以表示为-b0;Q=bQ-b=0;aba-b0,所以。+2)(X+3)(%+1)(%+4).【贴示】。是正数与负数的

6、分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.这里,我们借助多项式减法运算,得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.【探究】图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？图2.1-3将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4.在正方形ABCO中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为(b),那么正方形的边长为+炉.这样,4个直角三角形的面积和为2血,正方形的面积为/+b2.由于正方形48CD的面积大于4个直角三角形

7、的面积和,我们就得到了一个不等式2+b22ab.当直角三角形变为等腰直角三角形,即Q=b时,正方形图2.1-4EFG”缩为一个点,这时有a2+b22ab.于是就有M+22ab.一般地,V,bR,有a?+b22ab,当且仅当Q=b时,等号成立.事实上,利用完全平方差公式,得2+b2-2ab=(-b)2.因为Va,bR,(a-b)20,当且仅当a=b时,等号成立,所以M+炉一2ab0.因此,由两个实数大小关系的基本事实,得M+炉)2abt当且仅当a=b时,等号成立.【练习】1 .用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度力从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和

8、是非负实数；(3)如图,在一个面积小于350r2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长1大于宽W的4倍.I-5m-仓库-5in绿地;(第1题)2 .比较(%+3)(x+7)和(%+4)(%+6)的大小.3 .已知Qb,证明Qb.关于两个实数大小关系南基本事实为研究不等式的性质奠定了基础.那么,不等式到底有哪些性质呢？因为不等式与等式一样,都是对大小关系的刻画,所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发.思考请京先梳理等式的基本性质,再观察它们的共性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？等式有下面的基本性质：性质1如果Q=瓦那么b=a；性质2如果Q=b,b=c,那

9、么Q=c;性质3如果Q=by那么ac=bc,性质4如果Q=bt那么QC=bc性质5如果Q=Zj,c0,那么巴=CC可以发现,性质1,2反映了相等关系自身的特性,性质3,4,5是从运算的角度提出的,反映了等式在运算中保运算中的不变性就是性质.持的不变性.探究类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？类比等式的性质1,2,可以猜想不等式有如下性质：性质1如果b,那么ba；如果bb.,即Qb=bVa.性质2如果ab,bCy那么Qc.即Qb,bc=ac.我们来证明性质2:由两个实数大小关系的基本事实知aba-b0=(+(b-)06c=b-cJjj=a-c0=ac.类比等式的性质35,

10、可以猜想不等式还有如下性质：性质3如果Qb,那么a+cb+c.这就是说,不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.如图2.1-5,把数轴上的两个点4与8同时沿相同方从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解.对其他不等式的性质,你能用文字语言表述吗？向移动相等的距离,得到另两个点AI与/,A与B和4与B1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示,就是上述性质3.AAiBB1aa+cbb+cAiAB1Ba+cab+ch图2.1-5由性质3可得，a+bc=+b+(-)c+(-b)=acb.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果Qb,cQt那么QCbe;如

11、果Qb,c0,那么QCb,cd,那么Q+cb+d.事实上，由Qb和性质3,得Q+cb+c;由cd和性质3,得b+cb+d.再根据性质2,即得Q+cb+d.利用性质4和性质2可以推出：性质6如果QbO,cdO,那么QCbd.性质7如果QbQt那么”bn(nN,n2).实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.例2己知Q0,c7-ab分析：要证明三因为CV0,所以可以先证明工b0和性质3,即可abab证明工vab证明：因为Q力0,所以Qb0,40.ab于是1 1,abab即由CV0,得*【练习】1 .证明不等式性质134,6.2 .用不等号或填空：(1)如果QbtcbO,cd

12、b0,那么三白(4)如果abc0,那么Eab习题2.1【复习巩固】1 .举出几个现实生活中与不等式有关的例子.2 .某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案A为一次性投资500万元;方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元.列出不等式表示“经过Z1年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”.3 .比较下列各组中两个代数式的大小：/+5%+6与2/+5%+9;(2)(%-3)2与(-2)(%-4);当X1时,x2x2-X+1;(4)X2+y2+!.与2(x+y-1).4 .一个大于50且小于60的两位数,其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系,并求出这个两位数(用

13、a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).5 .已知2VaV3,-2VbV-1,求2a+b的取值范围.6 .证明:CVAbVQ=CVQ.【综合运用】7 .已知ab0,cVdV0,eV0,求证Q-CD-a8 .下列不等式中成立的是().(A)若Qb0,贝IJaC2c2(B)若ab0,则a2b2(C)若Qb0,则a2ab0),再添加m克糖(m0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.【拓广探索】11 .己知Qb0,求证VH.12 .火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t.现计划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢,25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数,共有几种方案?若每节A型货贿的运费是0.5万元,每节B型货相的运费是0.8万元,哪种方案的运费较少？2.2基本不等式