【人教A版必修】第1章集合与常用逻辑用语（纯Word版）.docx

《【人教A版必修】第1章集合与常用逻辑用语（纯Word版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教A版必修】第1章集合与常用逻辑用语（纯Word版）.docx（34页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、第1章集合与常用逻辑用语【章头语】我们知道,方程/=2在有理数范围内无解,但在实数范围内有解.在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆;而在空间中,所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面.因此,明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围,我们需要使用集合的语言和工具.事实上,集合的知识是现代数学的基础,也是高中数学的基础,在后面各章的学习中将越来越多地应用它.在本章,我们将学习集合的概念、基本关系和运算,学习用集合语言刻画一类事物的方法.逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具.学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概

2、念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具,正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养.本章我们将通过常用逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法,体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题,提升交流的逻辑性和准确性.1.1集合的概念【节引言】在小学和初中,我们己经接触过一些集合.例如，自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等.为了更有效地使用集合语言,我们需要进一步了解集合的有关知识.下面先从集合的含义开始.看下面的例子：(D110之间的所有偶数

3、；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有的正方形；(4)到直线I的距离等于定长d的所有点；(5)方程/-3x+2=。的所有实数根；(6)地球上的四大洋.例(1)中,我们把110之间的每一个偶数作为元素,这些元素的全体就是一个集合；同样地,例(2)中,把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素,这些元素的全体也是一个集合.【思考】上面的例(3)到例(6)也都能组成集合吗?它们的元素分别是什么？一般地,我们把研究对象统称为元素S1ement),把一些元素组成的总体叫做集合(Set)(简称为集).给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定

4、了.例如，“1110之间的所有偶数”构成一个集合,2,4,6,8,10是这个集合的元素,1,3,5,7,9,不是它的元素；“较小的数”不能构成集合,因为组成它的元素是不确定的.一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.我们通常用大写拉丁字母48,C,表示集合,用小写拉丁字母,b,c,表示集合中的元素.如果是集合A的元素,就说属于(be1ongs)集合4记作QW力;如果。不是集合A中的元素,就说不属于(notbe1ongto)集合4,记作A.例如,若用4表示前面例(1)中“110之间的所有偶数”组成的集合,

5、则有4A,3C4等等.数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N;全体正整数组成的集合称为正整数集,记作N*或N+;全体整数组成的集合称为整数集,记作Z;全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q;全体实数组成的集合称为实数集,记作R从上面的例子看到,我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外,还可以用什么方式表示集合呢？列举法“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋;“方程/-3x+2=。的所有实数根”组成的集合可以表示为1,2.像这样把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.例1用列举法表

6、示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程/=%的所有实数根组成的集合.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为力,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.(2)设方程/=X的所有实数根组成的集合为B,那么B=0,1.由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序无关,因此一个集合可以有不同的列举方法.例如,例I(D的集合还可以写成A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0等.【思考】(D你能用自然语言描述集合0,3,6,9吗？(2)你能用列举法表示不等式X-73的解集吗？描述法不等式%-73的解是X10,因为满足10的实数有无数个,所以X-73的解集无法用列举法

7、表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征，即:X是实数,且工10,把解集表示为xRIX10.又如,整数集Z可以分为奇数集和偶数集.对于每一个Z,如果它能表示为=2k+1(kZ)的形式,那么X除以2的余数为1,它是一个奇数;反之,如果是一个奇数,那么又除以2的余数为1,它能表示为=2k+1(kZ)的形式.所以,=2kMkZ)是所有奇数的一个共同特征,于是奇数集可以表示为%ZI%=2k+1,kZ.【边空思考】你能用这样的方法表示偶数集吗？一般地,设4是一个集合,我们把集合人中所有具有共同特征Pa)的元素无所组成的集合表示为XEAP(X),这种表示集合的方法称为描述法.【贴示】有时也用冒号或分号

8、代替竖线,写成xAP(X)或xAfP(x).例如,实数集R中，有限小数和无限循环小数都具有q7.,p0)的形式,这些数组成有理数集,我们将它表示为Q=卜RIX=：,p,qZ,p.其中,：(p,qZ,p0)就是所有有理数具有的共同特征.显然,对于任何yExeAP(x),都有yA,且P(y)成立.例2试分别用描述法和列举法表示下列集合：(I)方程/-2=O的所有实数根组成的集合A;(2)由大于IO且小于20的所有整数组成的集合艮解：(1)设A,则*是一个实数,且/-2=0.因此,用描述法表示为A=xERIX2-2=0.方程X2-2=0有两个实数根,-I因此用列举法表示为=2,-2).(2)设B,贝

9、Ik是一个整数,即XZ,且10V%20.因此,用描述法表示为=xZ10x20.大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为B=11,12,13,14,15,16,17,18,19.我们约定,如果从上下文的关系看,XER,xeZ是明确的,那么XR,xZ可以省略，只写其元素%.例如,集合O=xRI%10也可表示为。=xI%10;集合E=xZ|x=2k+1,kZ也可表示为E=xX=2k+1,kEZ.【思考】举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.【练习】1 .判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由：(1)与定点48等距离的

10、点；(2)高中学生中的游泳能手.2 .用符号“”或“-填空：0N;-3N;0.5Z;2_Z弓Q;R.3 .用适当的方法表示下列集合：(1)由方程/-9=0的所有实数根组成的集合；(2) 一次函数y=X+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；(3)不等式4%-5V3的解集.习题11【复习巩固】1用符号“W”或“2”填空：(1)设4为所有亚洲国家组成的集合,则中国At美国4Ef度4,英国A(2)若A=xx2=x,则一1A;(3)若B=xIX2+%6=0,则3A(4)若C=%WNI1%10,则8C,9.1C.2 .用列举法表示下列集合：(D大于1且小于6的整数；(2)4=xI(x-1)(x+2)=

11、0;(3)F=xZI-32x-13.【综合运用】3 .把下列集合用另一种方法表示出来：2,4,6,8,10;(2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数；(3)xN3x4-2%的解集.【拓广探索】5 .集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.当时,康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时,越过“数集”限制,提出了一般性的“集合”概念.关于集合论,希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料,用简短的报告阐述你对这些评价的认识.康托尔(GeorgCa

12、ntor,1845-1918)1.2集合间的基本关系【节引言】我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5=5,53,等等.两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察观察卡面儿个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗？(DA=1,2,3,B=1,2,3,4,5;(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合,。为这个班全体学生组成的集合；(3)E=xI%是两条边相等的三角形,F=(XI%是等腰三角形.可以发现,在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A包含于集合Bt或集合B包含集合4(2)中的集合C与集合D也有这种关系.一般地,对于两

13、个集合48,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合4为集合B的子集(SUbSet),记作Ac8(或B24)，读作“4包含于(或“B包含Tr).在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样,上述集合A与集合B的包含关系,可以用图1.2T表示.图1.2-1在中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合E,F都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合E中任何一个元素都是集合产中的元素，同时,集合户中任何一个元素也都是集合E中的元素.这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的.【贴示】请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例.【边空思考】与实数中的

14、结论“若Q瓦且b,则=b”相类比,你有什么体会？也就是说,若AB,且BA,则A=B.如果集合4GB,但存在元素X8,且XAt就称集合A是集合8的真子集(ProPerSUbSet),记作A呈B(或B叁A).例如,在(1)中,4G8,但48,且4CAt所以集合力是集合B的真子集.我们知道,方程/+1=0没有实数根,所以方程/+1=0的实数根组成的集合中没有元素.一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(CmPtySet),记为0,并规定:空集是任何集合的子集.【思考】你能举出几个空集的例子吗？【思考】包含关系0A与属于关系QA有什么区别?试结合实例作出解释.由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：(1)任何一个集合是它本身的子集,即AQA;(2)对于集合4,B,C,如果AB,且BC,那么AC.例1写出集合0,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集.解:集合q,b的所有子集为0,atbfafb.真子集为0,a1b.例2判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由：(DA=1,2,3,8=%I%是8的约数;(2)4=xIX是长方形,B=xI%是两条对角线相等的平行四边形.解：(1)因为3不是8的约数,所以集合A不是集合8的子集.