01 提公因式+林经武.docx

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1、O什么是因式分解在小学里，我们学过整数的因数分解.由乘法，得3X4=12.反过来，12可以分解：12=3X4.当然，4还可以继续分解为2X2,于是得12=322.这时12已经分解成质因数的乘积了.同样地，由整式乘法，得(12x)(1-Jt2)=12r-X22x3.反过来，1+2x2?可以分解为两个因式1+2x与1X2的乘积，即1+2r-2=(1+2,v)(1-2).1-X2还可以继续分解为(1+x)(1外.于是1+2x-2-2x3=(1+2x)(1+x)(1-),这里X的一次多项式I+2x、1+工、I-X都不能继续分解，它们是不可约多项式，也就是既约多项式，所以，1+2-W-2已经分解成质因式

2、的乘积了.把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解.每一个乘式称为积的因式.在因式分解中，通常要求各个乘式(因式)都是既约多项式，这样的因式成为质因式.因式分解的方法，我们将逐一介绍.1提公因式学过因式分解的人爱说“一提、二代、三分组“提”是指“提取公因式”.在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提.几个整式都含有的因式称为它们的公因式.例如ma、mb、-nc都含有因式m,m就是它们的公因式.由乘法分配律，我们知道ma-b-c)=ma+mb-mc,因止匕ma+mb-mc=m(a+b-c).(1)这表明(1)式左边三项的公因式机可以提取出来，作为整式/%a+/汕一?c的因式.mb-mc的

3、另一个因式a+b-c仍由三项组成，每一项等于ma+mb-mc中对应的项除以公因式m：a=mam,b=mbhc=mcm.1.1一次提净例1分解因式：2a2xi+6abxiy-5acx2.解12$?+6。加丁一15讹/由12236ab/y、-15acx2这三项组成，它们的数系数12、6、-15的最大公约数是3,各项都含有因式和所以3加是上述三项的公因式，可以提取出来作为122+62y-15cx2的因式，即有12o2j+6abx2y-15acx2=3r2(4v2by5c).在例1中，如果只将因式3.或3以提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好.因此，应当先检查数系数，

4、然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取.还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成.在例1中，这三项分别为2a2x3y6abx2yy150cx2除以公因式3加所得的商.初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1 .在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式3d与另一个式子的积，然后再提取公因式，即12crx,6atx2y-15acxi=3ax240r+30r22Zy30x2(5c)30x2(4v2hy5c).在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果.2 .用乘法分配律进行验算.由乘法得出3 at2(4av+2by5c)=1

5、2crxi+6abx1y-15acx1.1.2 视“多”为一例2分解因式：24(x+y)2彷+c)663(x+y)g+c)2.解原式由2i?b(x+y)2(b+c)、6“3护(X+y)(b+c)2这两项组成，它们的数系数的最大公约数是2,两项都含有因式/和儿而且都含有因式x+y与b+c,因此22z+y)(b+c)是它们的公因式.于是有22+y)2彷+0)6%3(+y)彷+c)2=2a2h(x+y)(c)(x+y)22Z)(xy)(Zc)3ah2(b-c)=2026(x+y)S+c)(x+y)-3ab2彷+c)=2,).解我们把多项式2r+y看成是一个字母，因此原式由(2xy)-(2xy)2r+

6、y这三项组成，2x+y是这三项的公因式，于是(2x+y尸一(2ry)2+(2x+y)=(2x+y)(2x+j)2-(2x+y)*(2x+y)+(2x+y)1=(2+j)(2x+y)2-(2x+y)+1.请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项I.在省去中间过程时，尤需加倍留心.1.4 注意负号例4分解因式：-34b(2x+3y)4+c(2x+3y)3(2r+3y).解3而(2x+3y)4+c(2r+3j)3a(2x+3y)=(2x+3y)(3b)(2x3y)3(2x3j)c(2x3y)2a(2x+3y),(1)=a(2x+3y)(3b)(2x+3y)3c(2r3y)2-1J.注

7、意中括号内的最后一项是二1,千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数一1,它也可以作为因数提取出来，即-3ab(2x+3y)4+ac(2x+3y)3-(2x+3y)=-(2x+3y)3b(2x+3y)3-d(2x+3y)(c)(2x+3y)2-(2x+3j)1=-(2x+3y)3从2x+3y)3-c(2x+3y)2+1.(2)这样做也是正确的.但必须注意各项的符号，提出因数一1后各项都应改变符号，所以(2)式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反.1.5 仔细观察例5分解因式：(Zr-3y)(3x2y)+(2y3x)(2x3y).解初看起来，原式所含的第一项(2x3y)(3x-2y)与第

8、二项没有公因式，但进一步观察便会发现2y-3x=-(3x2y).因此3工一2)，是两项的公因式.于是有(2,v-3j)(3-2y)+(2y3x)(2x+3y)=(3x2y)(.2-y)(2x+3j)=-y(,2x3y).提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简.1.6 化“分”为整例6分解因式：3/一83十ab.4解这里的第三项的系数是分数，为了避免分数运算，我们把,先提取出来，这时每44项都除以工(也就是乘以4),即43a3tr26a2b3-Vab4=-(2a3hy-24a2h3-21ab)4=己的4/-8加+9).4熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”.在提出一个分数因数(

9、它的分母是各项系数的公分母)后，我们总可以使各项系数都化成整数(这个过程实质上就是通分).并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把一1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数.小结提公因式是因式分解的基本方法之一.在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提.在与其他方法配合时，即使开始已经提出公因式，但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式,凡有公因式应立即提净.提公因式时吗，应注意各项的符号，千万不要漏掉一项.习题1将以下各式分解因式：1、5x2y101t)jz5x,.2、a(xa)Z(-jr)(xa).3、一2x(x+1)+(x+1)+Cr+1).4、3/-1+.从

10、“1(是正整数)265、2(pI)?4q(p1).6、mn(w22)n2(m22).7、(5。-2b)(2阳+3p)(2-7b)(2m+3?).8、2(x+y)+6(x+y)2-4(x+y)3.9、(x+y)2彷+c)(x+y)(6+c)2.10、6p(-1尸一8p2(-1)22P(Ix)2.习题11. 5x)j(-2z1)2. (x-a)(ab-)3. +D(+12x)4. -b2i,(9,+1)65. 2(p-1)(p-2q)6. nm)(n2w2)7. (2m+3p)(3+5b)8. 2(x+y)(1+3x+3y-22-4盯一2y2)9. (x+y)(S+c)(x+yi-c)10. 2p(-1)2(3-4p4)