07 函数的应用+黄海良录入.docx

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1、函数的应用函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.一次函数、反比例函数和二次函数是最基本的初等函数，可以以它们为素材来研究函数的性质，还可以建立起函数、方程、不等式之间的有机联系（大家知道，函数中的y在变化中变成0,函数就成了方程；其中的等号变成不等号，函数就成了不等式）.同时有关函数的内容又与实际问题的应用联系非常密切，与近、现代数学的发展紧密联系，是学生进人高校继续深造的重要基础知识.学习函数，重要的是从两个方面入手：一是解析式，二是函数的图象特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力可以反映出一个人的基本数学素养：从图象特征出发，可以实现数

2、与形的自然结合，这是数学中的一种非常重要的思想方法.例1如果关于X的方程IX-I1+x+1=0有实数根，求实数0的取值范围.2fxt解我们考察函数y=k-1+x+1,得y=2,-1x+c总取整数值，则当40时，y=c也为整数，故C为整数；当X=-I时，)=a-b+c为整数，则a-b=y-c,故a-b为整数；当X=I时，y=a+b+c=2a-(a-b)+c为整数，则2=y+(a-b)-c,故2a为整数.因此2。、a-b、。都是整数.(2)所求的逆命题为:若2a、a-b、C都是整数，那么彳取任意整数时，二次函数y=O?+以+，总取整数值.这是一个真命题，下面给出两种证明方法：证明一若2a、a-b、

3、C都是整数，则二次函数可化为y=O+v+c=r2+一办+公+。=ax(x+)-(a-b)x+c=2a-x(x+)-(a-b)x+c2当X取整数时，MX+1)是连续的两个整数相乘，一定为偶数，则1(X+1)为整数，所以2x(x+1)是22整数；又因为。功、。为整数，则-(。-力x+c是整数.因此当K取任意整数时，二次函数y=+b+c总是整数.证明二当X为偶数时，设户22因为2a、a-b、C为整数，则2b=2-2Ca-b)也为整数，有y=碘少+仇2幻+c=+力.&+C故函数值为整数；当刀为奇数时，设x=2h1y=a(2k-I)2+b(2k-1)+c=2a.(2k2-2k)+2b.k+(a-b)+c

4、t每一项都是整数，故函数值为整数.因此当X取任意整数时，二次函数N=Or?+法+c总是整数.例5通过实验研究，专家们发现:初中学生注意力指标数是随着老师讲课时间变化而变化的，讲课开始时，学生兴趣激增，中间有一段时间兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间X(分钟)变化函数图象如图7-2所示()，越大表示越集中).当0xW1O时，图象是抛物线一部分，当10x20和20x40时，图象是线段.(1)当0x10时，求指标数y与时间X函数关系式；（2）一道数学综合题，需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，指标数都不低于36.图7-2解（1）当OxK）时，设抛物线的函

5、数关系式为y=?+加+c,由于它的图象经过点（0,20）,c=20,(5,39),(10,48),所以有25a+5c=39,IOOa+10b+c=48,解得a=b=,c=20.55所以函数关系式为y=-?2+x+2O（024,所以老师可以经过适当安排，在学生注意力指标数不低于36的情况下，讲授77完这道竞赛题.评注此题综合性强，把二次函数、一次函数有机地与实际问题融合在一起，并与高中的分段函数相联系，起到承前启后的作用.例6求方程6x-3x+7=0的解.解方程6x-3幻+7=0可写为幻=处又因为x-1vxx,则有工一1N.33解此不等式组得-30.解由题所给方程得幻=七口，x-xt则有即等价于得-1x或1+x3.因此只可能取值为1,2,3.r2-3当x=-1时，土1二一1,得x=T;r2-31当x=2时，-=2,得x=7;2r2-3当x=3时，-y=3,得x=3.经检验：工=-1,近,3都是方程的解评注上述解题方法如出一辙，其解题步骤可以概括为：（1）从原方程中解出幻（用含X的代数式表示）；（2）代入不等式组x-1J,1）,D（,）代入y=奴2+b+c中得223a-Jh+2=1,解得8二一5b=一更9故所求抛物线表达式为y=-x2-等x+2.(3)矩形ABOC的面积=AB80=1则以0、B、P、Q为顶点的平行四边形面积为26,由题意可知OB为此平行四边形一边.又