16 圆内接四边形与圆外切四边形+孙涛.docx

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1、16圆内接四边形与圆外切四边形顶点在圆上的凸四边形称为圆内接四边形圆内接四边形有下列有趣的性质：性质1圆内接四边形的对角互补.性质2圆内接平行四边形必是矩形；圆内接梯形必是等腰梯形.性质3圆内接四边形的对边乘积之和等于两条对角线的乘积.（托勒密定理）事实上，我们有下述更一般的结论（托勒密不等式）：设ABCo为任意四边形，则ABCD+8CAOAC8D,当且仅当A,B,C,。四点共圆时上式取等号.rcACCD如图16-1,取点E,使NfiAE=NCAD,NABE=NAC。，则C,即有=，且=，AEABABBE即AB8=AC8E.ARAC又=，且ZZ4=NCAB,AEAD亦有ADBC=AC.ED.由

2、,，并注意到8E+D8”有ABCD+BCAD=AC（BE+ED）CBD,其中等号当且仅当A,B,C,。四点共圆，即E在BO上时成立.即当NAB。=NACD时成立.性质4圆内接四边形ABCD的四边A=a,BC=b,CD=c,DA=dt令p=g(+6+c+d),则其面积sabcd=&P-G(P-b)(p-C)(P-d).事实上，由2SABcd=adsinZBAD+bcsinZBcD=(ad+be卜SinZBAD,及BDr=a2+d2-2QdcosZBAD=b2+c2-2bccosZBCD=b2+c2+2bccosNBAD即g(?+d2-b2-c2)=(ad+be)cosZBAD.于是S2bcd+-

3、(a2+d2-b2-c2)=(tzz+be)2,即4s2hcd=3+be):(a2+d2-b2-c2)2(+F-(b-c)S+c)2-(d)=(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+a-d)(b+c+d-a)故SABCD=(P-G(P-b)(P-C)(p-d).四条边都与一个圆外切的四边形叫做圆外切四边形.四边形不一定都有内切圆或外接圆，但每个圆都有无数多个外切四边形和内接四边形.设ABCO为圆的外切四边形，则A5+8=8C+AT.若四边形ABCD的两组对边的和相等，则此四边形必有内切圆.例1如果边长顺次为25,39,52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）.A.624B.63

4、C.644D.65(1995年全国联赛题)解：选D.理由：设ABCO为圆内接四边形，且AB=25,BC=391CD=52,DA=60,如图16-2,由圆内接四边形性质，ZA=180-ZC,连8）,由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2AB.AD-cosZA=CB1+CD2-2CBCD.cosZC，BP252+602-22S60cosZA=392+522+23952cosZA.解得COSA=25)*q2二39-二1二0,故NA=90是圆的直径.2(25.60-39.52)BD=y252+602=4225=65,从而圆的周长为B1kr=65例2已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12,

5、CD=G,分别延长A8和OC,它们相交于P,且BP=8,ZAPD=(A)f则R等于().A.10B.22?C.122D.14(2000年全国联赛题)解：选B.理由：如图16-3,由切割线定理，得PBPA=PCPD,即8x20=尸C(PC+6),解得PC=IO.连AG在/C中由=2PC,ZAPC=60得NPcA=90,从而Az)是圆的直径.由勾股定理，得AD1+AC2+CD1=(2-PC2)CD2=202-IO2+62=336.故R=-AD=2j2.2例3圆内接四边形ABC。中，ZA=60ZB=90,4)=3,CD=2.(1)求8C的长；(2)求四边形ABC。的面积；(3)比较AB+BC与AD+

6、8的大小.(1999年江苏省竞赛题)解：(1)因/5=90知AC为直径，从而NO=90;如图164,延长A8,DC交于E,由NA=60，有NE=30,故BC=-EC=-3-.22-O1(2)因为E=BC.3=-3,所以Sabcd=sades&ebc=|+1-oZ(3)因为AB=AE-BE=6二,2所以AB+BC=-s3+-+-=5=AD+CD.22252例4设ABCO为圆内接四边形，对角线AC平分B。于E试证:AB2+BC2+S2+DA2=2AC?.(1996年北京市竞赛题)图16-5证明由ABCO为圆内接四边形，易得aAEBsaDEc,丛AEDS丛BEC,m1ABBEADDE则=,=.DCC

7、EBCCE由于BE=DE,则,即AB5C=4Z)C.DCBC(由Saadc=SM8C也易证得上述等式)由余弦定理，有AC2=AB2+BC2-2ABBCcosNABC,AC2=AD2+DC2-2AD.DC.cosZADC.而cosZABC=cosZADC故得AB2+BC2+CD2+DA1=2AC2.另证由三角形的边与中线的关系得，AB2+AD2=2BE2+2AE2，BC2+CD2=2CE2+2BE2.上述两式相加，得AB2+BC2+CD2+DA2=2(AE2+2BE1+CE2)=2(AE2+2AE.CE+CE2)=2(AE+EC)2=2AC2对角线互相垂直的圆内接四边形，这特定的条件，使它滋生出

8、许多美妙的数量关系和位置关系.例5四边形ABCD内接于半径为r的圆，对角线AC,80相交于E若AC_1BO,则EA2+EB2+EC2+ED2=4r.又若上式成立，是否必有AC_1BQ?说明你的理由.(1991年英国数学奥林匹克题)图16-6证明如图16-6,因为AC_18。，所以EA2+EB2+EC2+ED2=AD2+BC2=(2r.sinNABO)?(2rsinZBAC)2=4r2(sin2ZABD+sin2Z.BAC)=4r2(sin2NABD+cos2ZABD)=4r2若题设等式成立，则不一定必有AC_18D例如，当AC和80为圆的直径时，虽然AC不与80垂直，但题设等式仍成立.圆内接四

9、边形的四个顶点，每三个可组成一个三角形，这样组成的四个三角形，由于特定的结合关系，它们之间外心、重心、垂心、内心等组成一些特殊的联系.圆内接四边形的四个顶点与其对角线交点也组成四个三角形，这些三角形中的这些特殊点也组成一些特殊的联系.除此之外，还有许多有趣而优美的结论.例6如图16-7,圆内接四边形ABCD四顶点组成的四个三角形的重心组成的四边形与原四边形相似.证明：设G，G2,G3,G4分别为4A8C,ABCD,CD,ZXABQ的重心.E为8。的中点，连AE,DE,则G1在AE上，G2在DE上.于是，在匹中，G1G2=-AD,同理，GG%AB,G3G4%BC,G4d*CD.从而四边形GG2G

10、3G4与四边形DABe的对应角相等.故四边形GG2G3G4S四边形dabc.注显然圆内接四边形四顶点组成的四个三角形的外心重合.例7四边形ABCO内接于圆，4BCD,CDA,ADAB,ZXABC的内心分别记为,2,3,j求证:四边形/是矩形证明：如图16-8,设A8,BC,CD,OA的中点分别为M,M1,M,则由三角形内心性质知,MI3=MA=MB=MI4,即34为等腰三角形.又MW平分NDWC,从而MMJ.4/.同理MMj./于是/“J同理认，儿.故四边形为平行四边形但MMJ_NN,而小，与人分别与它们垂直，即/也上人小故/JA1是矩形注上述证明使我们获得两个结论：结论1圆内接四边形的一条对

11、角线分成的两个三角形内切圆圆心与此对角线两端点的连线交圆依次于M,N,M,N,则W1M.结论2圆内接四边形的四个顶点组成的四个三角形中，两相交三角形的内切圆圆心与两三角形公共边所对（外接圆）劣弧的中点组成等腰三角形，且两内切圆圆心的连线为底边.例8设AAAA为。的内接四边形，片，也，生，居依次为A2AAt,341,a4i,a,4A的垂心.求证：H1,H2,鸟，兄四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置.证明：设。的半径是R,并设P是线段4%的中点，连OP并延长到。，使OP=OP.易知。AIoH是平行四边形，故OI=OA=R.过4作。0的直径48,连6At,则人乜，84同垂直于人3人，故A2H/B

12、A4.因4M，%同垂直于A2A3,则A4Hy/BA2.因此，四边形”AB为平行四边形，从而A2H1义确.同理可证AiH2J1BA,.所以A2W1=A,H2.又P也是人”2的中点，从而OH2=OA2=R.类似地可证OHy=OA3=RfOH4=OA4=R.所以OH1=OH2=OH3=OH4=R.即回，H2、H3,4在以。为圆心，R为半径的圆上.注从上述证明中，可知四边形司也”3乩g四边形OABC（点。、A、C可类似于点8得出）例9已知：四边形ABCZ）外切于圆0,且对角线AC和B。互相垂直.求证：AB.CD=BC.AD.（1985年中国部分省市初中竞赛题）A图16-10证明：如图16-10,因为A

13、BCO为圆外切四边形，)iAB+CD=BC+DA.上式两边平方，得AB2+2AB.CD+CD2=BC2+2BC.DA+DA2.设AC与B。交于E,由AC11BO,则AB2=AE2+BE2,BC2=BE2+CE2tCD2=CE2+DE2fAD1=DE2+AE2.从而AB2+CD2=BC2+DA2由一得2ABCD=2BCDA.故AB,CD=BC.DA.习题161 .四边形ABC。内接于圆，BC=CD=4,AC,BD交于E,AE=6,BE和DE的长都是整数，则8。的长是多少？2 .已知圆内接四边形的各角度数为。，0+x,0+2x,6+3x,并且某两个内角互余，求各角度数，并且从小到大排列出来.3 .

14、如图，在圆周内部有一凸四边形，四条边的延长线交圆周于点A，A,B1,B2,C1,C2,d1,4试证：若=BCz=GA=AA,则由直线A4，片与，c1c2,所围成的四边形是圆内接四边形.（第19届全俄数学奥林匹克题）45 .已知四边形ABCD内接于直径为3的。0,对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P.AB=BD,且PC=O.6.求四边形ABCO的周长.（1999年全国竞赛题）6 .已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与8。的交点为七，AE=EC,AB二垃AE,且8。=2代.求四边形48CQ的面积.（2000年全国联赛题）7 .四边形ABC。内接于圆，对角线AC与B。的交点为P,设圆心为0,半径为R.若AC2+BD1=kSR2,求证：OP为定值.8 .对角线互相垂直的四边形内接于。0,试证圆心O到一边的距离等于其对边的一半长.9 .求证:对角线互相垂直的圆内接四边形的两条中位线（对边中点的连线）相等,且等于2R2-O产，其中。为圆心,尸为对角线交点，R为。的半径.10 .试证：圆内接四边形ABCO中，每一顶点与其他三顶点所成三角形的垂心之连线，这样的四直线共点.11 .证明：菱形ABCD两邻边AB和BC被内切圆的切线所截取的线段AM和CN的乘积一定.1