专题1.7 恰当放缩 +石丽娟.docx

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1、1.7恰当放缩用放大或缩小的方法来确定某个数或某个代数式的取值范围，称为放缩法.放缩法在不等式的证明，不定方程的求解等方面都有运用，但要注意的是放缩要恰当，过则即反.A例1.已知A=12345678910111213zB=31211101987654321,求-的小数点后前三B位数字.【解】直接计算比较繁琐，可以通过放缩来估计4的范围，因为上的=0.3952；BB3122而42010,所以N2010项+201产_201PuI102010+20112112010+201121pO1Vo,2011k2011J+因为迎2Y0.9,又因为非产U刈心,所以2011101112O1O2o,o+2O112,

2、12011N0.920101,解得20109N20110,从而N的整数部分是20109.10【注】恰当放缩求某个数和整数部分，实际上就是要估算出这个数介于哪两个相邻的自然数之间，从而达到目的.放缩法的基本思想是依据是不等式的传递性,要证明AB时,去寻找一个C,使得AC与CB都容易证明.例3.求证：+-+H2.I222n2【证明】1产+1F+【注】1F+1223+1+_1+_1+n21223(2-1)?(-1)w111111IC1C1+11-+=221223n-1nn是一种常用的放缩方法，但是在此题中应用不对，不等号的方向反了.用放缩法证明时，经常需要增加或舍去一些项，扩大或缩小分式的分母等方法

3、得到比原不等I1S=F+-r+I222式更强但较容易证明的不等式，如求证s=1+，1,要从第三项开始放大，得I222n24+1+一+1+；=-；若从第二项开始放大就/4233x4(n-1)n4/24得到例3的结论：s2；而从第四项开始放大，可以得到s的更精确的结果，放缩的程36度取决于结论的要求例4.已知Oa1,且1a+一302a-3029a-3018求口Oa的值.【解】因为0。+,+工303029+2,故+3023029，a+一30都等于。或1,由题设可知，其中有18个1,11个0,故1aH302a+3011a-300,12+一3013a3029a30=11119所以0v+1且1+2,30例

4、5.已知S=199x1301992IO解得6104N,1ia=6.3019966979797【分析】对于每一个“国”中的分数一一估计，规律性较难体现，注意到首尾两项“凶”中的分数之和恰为整数199,可利用高斯函数性质首尾配对进行处理.【解】因为01,097J199x96971,故OV19911199961C+2,又因197J197J为吐1+小史=199,所以199x1199x9697199297199959797=198,同理9797=198,19948199499797198，（注意，这里用到（97,199）=1,对1WkW96,数12也都不为整数）.97故S=198X48=9504例6.设

5、X为有理数，证明：仅存在有限多组满足aO.【分析】由条件可知，只要a,b,c中任何一个能够证明为有限，那么其他的随之完成论证.【证明】因为函数y=0+灰+c的顶点为2,竺上匕因此由二次函数开口向I2a4a）下，可知如包5+加+c4a由已知可设X=E,其中p,q,为整数且（p,q）=1,q0,那么q2,ap2+bpq+cq2.ax+bx+c=-ta0q一从而ap2b誓空qq利用户4c=5以及和可得工=义二色Jr,从而a=-a-q2为有界，因4。4aq-4此a只能取有限个整数.下面估计b,由于a0,可得出巫三呈bv-2ax+番，即Ib1V12ax+6,对固定的（,a）可知b也是取有限个整数值，而C

6、=史B,因此对固定的（a,b,）可知C也只能取有限个整数值.4a综小所述，仅存在有限多组整数解（a,b,c）满足题意.【注】本题难点在于利用了整数的离散性，直接把分式炉+b尸+cq：q的分子放缩到了1.练习1.71 .试问：!能否写成三个互异的完全平方数的倒数之和？8C、4+f5711f5721（5x7x2010AAZ廿r+,（）r2 .试求：I%卜+i卜的值，其中x=x-x.I2011JI2011I20111i1j3 .设a,b,c为正实数，求T=J世+空+1%的最小值.cJ1aJ1b_4 .设x1x2x110且Z4=1,证明：fxj1,yir15.试问：是否存在满足下列条件的正整数对（m,n）,使得：（1）（m,n）=1zm2011;对任意k=1,2,2011,均有=瓜.