专题2.4 利用圆的性质+范朝晖.docx

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1、2.4利用圆的性质圆与直线型可组合成一些复杂的几何图形，是一类综合性的几何问题.利用圆的性质，可以丰富几何计算和几何证明的方法.在本节中，我们对圆的有关典型问题作一个简单的介绍.例1如图241：四边形ABCO内接于圆O,A。为直径，且AD=8,AB=BC,CD=I,求AB的长.【分析】利用条件AB=BC,则可推出所对圆周角相等，故构建出代数方程求解.图241【解】设AB=BUX,BD=Y.且NAOB=NBoC=.则由余弦定理得：故r2=X2+56.因为40为OO直径，故NA8。=90。.从而V+2=64,故X=2,即AB=2.注意到AB=BC这个条件，还可以考虑使用垂径定理.图2-4-2【解】

2、连结AGBO交于点M.因为AB=BC,所以AB=BC.又因为80为半径，所以80_1Ae因为Ao为OO直径，所以CZ)1AC.I71从而MOCD,所以MO=-S=,BM=1222在RTAAMO中，AAY2=42-I-I=.在R78中，AB2=+=4,即A=2.注意到垂直和角平分线，还可以构造等腰三角形求解.【解】如图2-4-3连结B。，延长AB和。C交于点E图2-4-3有前面揭发可得：AABD/AEBD.故EB=AB=BC=X,Ao=Eo=8,EC=I.故由割线定理：EBEA=ECEd.故22=8,X=2,即48=2.【注】在解决有关元的问题中，要善于结合圆的性质和其它图形性质，运用多种方法思

3、考.例2如图2-44：AB为。的直径，C为半圆弧AB上一点，CO_1A8于。，以C为圆心，CO的长为半径的圆交。于点E、F.求证：E/平分8.图244【分析】E尸为。和。C的公共弦，可考虑分别在两圆中以EF为弦使用相交弦定理，寻找所要的数量关系.【证明】延长CO和OG分别交。O和。C于M、N点.由相交弦定理得：CGGM=EGGF,DGGN=EGGF.故CGGM=DGGN.从而CG(DG+MD)=DG-(CG+CN).进而CGMD=DGCN.结合A8_1C。且AB为直径，故MZ)=CD由于CD=CM所以CG=OG,即E/平分CD【注】圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，过圆心的直线是它的对

4、称轴.利用圆的对称性可帮助我们解决问题.例3如图2-4-5：AB为。的直径，AB=2R,Co为一条动弦，Co交AB于E,且NAEe=45。.求证：+功2为定值.图245【分析】利用圆的对称性，构造直角三角形，简化【证明】过C点作关于AB的对称点F,连结ERDF,则点尸在。O上.由圆的对称性：CE=FE,NCEF=2NCEA=90。,故N尸Ez）=90.从而CE2+ED2=EF2+ED2=FD2.有正弦定理得：FD=2RSINZFCD.故FD=JiR.所以CE2+ed2=2R2为定值.【注】在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，但常常我们宜接要用的圆并不存在,这就需要我们利用已知条

5、件，借助图形吧实际存在的圆找出来，在利用这个圆的性质解决问题.例4如图2-4-6：%、PB分别切。于点A、B,OP交AB于点、C,弦E尸过点C求证：NAPE=NBPF.图246【分析】NAPE和N3P/对于。而言均为圆外角，直接证明不容易.考虑到问题等价于NEPo=N尸PO,若证明0、尸、P、E四点共圆，再结合PE=O尸即可.【证明】连结0E、OF.OA.OB.因为PA切。0于A、PB切00于B,所以QA_1尸A,OB1PB,从而A、P、B、。四点共圆.故0CPC=ACBC.因为ECFC=ACBC,i0CPC=ECFC.进而E、O、R尸四点共圆，故N1=N4,Z2=Z3,因为OE=OF,故N1

6、=N2,从而N3=N4.因为NAPO=NBP0,所以NAPE=NBPF.【注】判断四点共圆的主要依据和方法有：（1）四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.（2）四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（3）线段向同侧所张的两个角相等，那么两个角的顶点和线段的端点共圆.（4）四边形的两条对角线交点分每条对角线所成的两条线段之积相等，那么这个四边形的四个顶点共圆.（5）延长四边形的一组对边相交于一点，若这点到这组对边中每一边端点的两条线段长的积相等，那么这个四边形的四个顶点共圆.（6）到同一个点距离相等的四个点共圆.例5如图2-4-7：ZXABC的内切圆分别切A

7、8、AC于点E、F,。是BC的中点，ZB.NC的平分线分别与直线EF交于点N、M.证明：DM=DN.【分析】若ABMC和48Ne均为直角三角形即证，故可考虑证8、E、M、I四点共圆及C、RN、四点共圆.图247【证明】设4ABC内心为/,连结A/、EKFKBM、CN.由题意得：A、E、/、尸四点共圆，故ZIEf=ZIAF=-ZA.进而NBEM=90+NEF=90+上ZA=ZBZC.2所以B、E、M、/、四点共圆.故NBM1=NBE1=90,即48MC为直角三角形.因为。是BC的中点，所以。M=JBe同理：DN=-BCfDM=DN.2【注】在题目中涉及三角形外心或内心时，还可以构造三角形外接圆或

8、内切圆帮助解题.例6在aABC中，已知点/为内心，点O为外心，AB=5,BC=6,CA=4.求证：O/_1EC.图24-8【分析】构造aABC的外接圆，证明点/是EC中点即可.【证明】延长C7交AB于点),交AABC的外接圆于点E.A9因为C/平分/AC8,所以丝=把=.BCBD3结合AB=5,可得Ao=2,BD=3.由角平分线长公式：CD2=ACBC-AD.BD得CD=3五.由于AO8O=COEO,故ED=Ji.7rjiADDIDI.r又因为一=，故DI=企.ACIC32-D从而E=C=2,所以O11EC例7如图2-4-9：ZXABC的外接圆的圆心为。点尸、。分别在线段CA、AB上，K、1、

9、M分别是BP、CQ.PQ的中点，圆。过K、1、M并且与PQ相切.证明：OP=OQ.图249【分析】若尸8Q0,即P、Q关于。0等塞.需证AQQB=APPC.考虑到中点，可从构造中位线入手.【证明】连结MK、K1、M1,因为PQ与。O相切，所以/KMQ=NK1M.又因为MK为aBPQ的中位线，因此MKBQ.因为NKMQ=NAQP,故NK1M=NAQP.同理：/1KM=ZAPQ,从而AAPQsAMK1.故廿=丝.MKM1因为MK=1BQ,M1=-PC,所以理=理.22BQPC即APpC=AQB。，故尸、Q关于。0等累.所以OP=OQ.练习2.41如图：ZXABC的外接圆圆心为O,以BC为直径的（D

10、er交AB于点E,交AC于点。，若Eo的中点为尸,求证：OA/0yF.A2.如图：在aABC中，。、E、尸分别为A3、BC、AC边的中点，分别作aABC与；尸的外接圆。O与。0，过A作圆。的切线，过点七作。O,的切线，求证：MN/GH.3.如图：圆内接四边形A8CO,AB=AD,PB=BO,CE1PE,CZ)=I8，求OE的长.第3题4 .圆内接四边形A8C。的对角线AC、8。相交于点七，线段8C=OC=4,AE=6tBE和。E的长都是正整数，求8。的长.5 .如图，AB为。的直径，自48上一点。向圆的切线。尸作垂线C尸，尸为垂足，D为切点,OE为过C的弦，若C/=8,CD=10,AB=14.

11、求CE的长.6 .如图：直线AB和AC与圆。分别相切于8、C两点，P为圆上一点，且P至IJAB、AC的距禽分别为6和4,求点P到BC的距离.7 第6题8 .设C为平面上一个圆，而G，。2是两个没有交点的圆，它们都内切于C，切点分别为A、B.直线T为G，C2的一条公切线，分别切G，。2于点。、E,且圆G，。2在T的同一侧，尸为AO和BE的交点.证明：点尸在圆C上.9 .如图：在aABC中，已知AZ)1BC,BE1CA,A。与BE相交于点“，P为边AB的中点，过点。作CQ1PH,垂足为0,求证：PE2=PH.PQ.10 .已知点O是锐角AABC的外心，过A、B、。三点的圆交AC、BC于点E、F,J

12、EF=OC,求证：OCEF,且NACB=450.11 .如图，在锐角中，ABAC,NBAC=60。，O、”分别为aABC的外心、垂心，直线O”分别与AB.AC交于点P、Q.求证：PO=QH.第10题答案练习2.41 .过A作。O的切线AP,故NCAP=NABC.因为NABC=NADE,所以NCAP=NADE,故APED.第1题因为Ao_1AP,故AO_1ED.因为F为ED的中点，所以O，F_1ED,所以C)A。下.2 .设AB与GH交于点P.因为D、E、F分别为aABC三边中点，则DEAC,DFBC,EF/7AB.所以四边形CEDF为平行四边形.故NC=NEDF.第2题因为MN为。O的切线，所

13、以NMAB=NC,因为GH为。Cr的切线，故NHEF=/EDF,所以NMAB=/HEF.因为ABEF,故NHEF=NAPH.所以NMAB=NAPH.所以MNGH.P4PC3 .连结AO、DO,因为AB=AD,故NAoB=NAOD,即Ao平分NPOD.所以一=2.ADDO设AD=AB=X,则PA=2x.因为ADDO2CD3在AAPO中，CoSP=(122)2+242-122212024=-2.所以Ce)SP=世=&.PE=-2.所以DE=2.8PC822因为CD=18,所以AO=I2.由割线定理：PAPD=PBPC.故6x?=3AO1所以x=6.4 .HBC=CD,所以NBAC=NDAC.因为N

14、BAC=NBDC,所以NBDe=DAC,CDECAD.BEED=CEAE,所以BEED=I2.所以BE+ED=13,8,7.所以空二巴_=笠，故CE=2.ACCDCE+64即BD=13,8,7.因为BDVBC+CD=8,故BD=7.5 .连结OD,过O作OG_1CF,垂足为G.第5题因为DF为。O的切线,所以NODF=90,因为CF_1DF,OG_1CF,所以NDFG=NoGF=90。.故ODFG为矩形，所以OG=DF.在RtZCDF中，DF=6,所以OG=6.因为CG=8-7=1,故在RtZXOCG中，OC=扃.有相交弦定理：CECD=ACBC,故IoCE=(7+屈)(7-百7).所以CE=

15、I.2.6 .设P至IJAB、AC、BC的距离分别为PM、PN、PQ,连结PB、PC、MQ、NQ.因为PM_1AB、PQBC,故P、M、B、Q四点共圆.所以N1=N2.同理：Z3=Z4.因为BA为G)O的切线，所以N1=N3,Z2=Z4.第6题同理：NPMQ=NPQN.故4PMQspqn.所以命=藤.所以PQ，=PMPN.所以PQ=2#,即P至IJBC的距离为2#.7 .延长DE,在圆O上取点P,连结AP、BP.设NDEF=,则NBEQ=.第7题因为EQ为。2的切线，所以NB2E=2.因为BO2=EO2,故NO2BE=9O。一.设NEDF=.同理：ZOAD=90o-,因为NDFE=I80。一a。