专题07 圆幂定理+盛锦.docx

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1、7圆塞定理在圆中，相交弦定理、切割线定理是两个极为重要的定理.相交弦定理：两弦A3、CD交于点P,如图7-1,则Q4P8=PCPO.切割线定理：考PT为圆的切线，T为切点、,割线R48交圆于点A、B,割线PCo交圆于点C、D,如图72,则PC?=PAPB=PCPD.C图7-1图7-2通常我们把上述定理统称为圆基定理，计算圆中的线段长度，处理线段的乘积式或比例式时常用到圆鼎定理.上述定理的逆命题也正确，常用于处理四点共圆问题，证明直线与圆相切，在上一节四点共圆问题中我们已经体会到它们的作用.例1在AABC中，已知CM是NC的平分线，AMC的外接圆交BC于点N,若AC=1A8,求2证：BN=2AM

2、.图7-3证明因C例是NC的平分线，故生=4竺.BCBM又由割线定理得3MB4=8N8C,于是空=匹.BNBMAtf)1、知：勺-=而AC=1A8,所以BN=2AM.AMBN2例2如图7-4,A4切Oo于点A,点8在。内，BP交。0于点C,若尸A=6,PC=4,CB=2,OB=I,求。的半径.图7-4分析所给线段都与圆的弦、切线有关，故可考虑用圆辕定理建立已知各线段与圆的半径的数量关系.解延长PC交Oo于点D,双向延长。8交。于点E、F,则抬2=尸。.9九BC8O=BE8b又设。的半径为，则62=4（6+8。）；28。=（厂-1）&+1）,解得80=3,从而r=5/7.例3如图7-5,。的直径

3、AB的延长线与弦C。的延长线相交于点P,E为。上的一点，AE=ACtDE交AB于点F,求证：PFPO=PAPB.图7-5证明连结。C,由AE=AC,知NaC=NAOC,所以NPDF=I80o-ZEDC=18Oo-NAOC=ZPOC.故点、D、F、。、。四点共圆，从而PDPC=PFPO.又B、A、C、。四点共圆，所以PDPC=PBPA.由、知PFPO=PAPB.例4如图7-6,。内两弦A3、CO的延长线相交于圆外一点E,由E引4短的平行线与直线BC交于点尸，作切线R9,G为切点，求证：EF=FG.图7-6分析由于R7切圆。于点G,则有尸G2=E3PC,因此，只要证明FE2=r5FC成立即可.证明

4、因为律A。，所以在ABEE与AEH:中有NB即=NA=NC,又/BFE=/EFC,所以BFEAEFC,从而竺=生，即W=FBFC.又FG2=FBFC,所以在：2=柘2,从而FBFEFE=FG.例5如图7-7所示，已知。分别与AABC的AB、AC边切于点M、N交BC于点E、F,且BE=EF=FC,求证：ZB=ZC.证明由切割线定理知BM?=BEBF=BE(BE+EF),CN2=CFCE=CF(CF+EF).又BE=EF=CF,从而BM=CN.由于AM,AN都是圆的切线，故AM=AN,所以AB=AM+BM=AN+CN=AC,从而ZB=NC.例6如图7-840是。的切线，。是切点，48C是割线OEJ

5、_A。于点E.求证：ZAEB=ZC.图7-8分析要证NAfB=NC,只需证0,E,B,。四点共圆即可，从而又只需证AO?=AEAO,又注意到A。A为直角三角形，且OE_1A0,用射影定理可解决问题.证明连结QE,则AQD4为直角三角形，又OE_1AO,所以A?=AEA。，XAD2=AAC,从而AEAO=A8AC,于是。、E、B、C：四点共圆，故NAEB=NC.例7如图7-9所示，正方形ABCD内接于00,点尸是劣弧48上一点，连结OP交AC于点Q,若QP=QO,求空之值.QA解连结80,则83过点。，设AO=/*,QP=Qo=根则220QP=AQQC=(A0-02)(0C+Oe)=Gm)&+根

6、)，解得OQ=亍黑-又注意到AQOO为RtN则OQ2=OZ)2+oq2,即(厂一加-=r2+m2,解得r=JJm,从而竺=C1=2+J1、rnJQAr-m例8如图7-10,已知AB、AO是半径为R的Oo的两条直径，且NAOC=60。，点尸在劣弧BC上，连结R4、PO分别交C。、AB于点E、F,求证：AEAP+9DP为定值.图7-10分析从结论AE4P,OAOP的形式来看，可考虑证。、E、P、F四点共圆，进而考虑证OE+OF=R.证明连结BD,则NoBF;,AO=60。=NAoE有易知NEAO=NBZ,OA=BD,所以2/EAO=AFDB,于是OE=BF,OE+OF=BF+OF=OB=RMtJ由

7、于NP=-AD=60。=NAOE,从而0,E,P,尸四点共圆，故2AE.APDF.DP=AO.AF+DO.DE=R(AO+OF+DO+OE)=3R2.例9自给定AMC的顶点4任意作一直线与NA内的AA3C的旁切圆交与点P、Q,求证:AP+AQAB+BC+CAA图7-11证明设AC切圆一点T,则APAQ=AC2=（A5+-+CA）,又（”；AQ）AP-AQAPa-AAR4-RC+CA所以一；,等号当且仅当AP=AQ时取到，此时P、Q重合，不合题意，所以等号不能取到，从而AP+AQAB+BC+CA.例10如图7-12所示.尸的圆心P在O。上，一）。的弦A8所在的直线与:相切与C,若OP的半径为r,

8、。尸的半径为R.(1)求证：PAPB=2Rr;(2)00和。尸的交点。，AD交P于点E,若OO和OP面积之比为9：4,且PA=I0,依=4.8.求。七和AE的长.图7-12pr分析注意到PB=26等价于上=一,从而考虑证明PC8MPF.2RPB(2)由两圆面积为9：4,可知两圆半径之比为3：2,再利用2Q=R4依可求出两圆半径.在RAPAC与RfAPAF中,可利用勾股定理分别求出AC及P尸的长.连结PE,在等腰中，可求出DE,再利用切割线定理AC?=AbAD,求出AE.证明(I)过A作。的直径A尸，连结尸尸、PC.因为A尸为。0的直径，所以NbA=90。.因为PRFAC切OP于点C,故/PCB

9、=90。.结合/PBC=NF,可得APCBAPF,所以黄=旨，即PAPB=IRr.(2)因为OO和OP的面积之比为9：4,故2R=3r,设R=3Z(Q0),则尸=2%。因为Q4P3=2R厂且BA=IO,P8=4.8,所以2=2,从而R=6,r=4.因为7=10,PC=4,所以AC=2-PC2=221,由于AF=2R=12,所以PF=FRF=2T,连结尸。，PE,则Pf)=PE=r=4,于是COSNAz)P=CoSNR=，由余弦定理有6PE2=PD2+DE2-2PD.DEcosZADP,既有OE?；EoE=O,解得OE=giT(OE=O,舍)，因为A02=AEAp=AE(AE+OE),(22?)

10、2=AffAE+yTJ,解得AE=I(IO立一).习题71.如图，Oo的三条线尸6，Q0,RRJ两两相交，交点为A,B,C,若A6=8R=CQ,AQ=BP=CR,求证：AABC为正三角形.（第1题）2如图，三个半径都为1的圆的圆心。1,O2,。3共线，且Oa与。2外切于点8，0。2与。3外切于点C,点A为三圆的连心线与Oq的交点，直线4G切OQ于点G，交于点E、F,求之长.（第2题）3 .过OO外一点P作Oo的两条切线24、依连结0P,与Ca交于点C,过点C作AP垂线，垂足为点E,若=10,PC=5,求CE的长.4 .ABC中，AB=AC=2,BC边上有IOO个不同的点6，P2,.,00,记7

11、 mj=AIf+BPi.CPi(;=1,2,100),求1+，叼+w()5.圆与正三角形三边交于6个点，如图所示.若4G=2,G尸=13,FC=1HJ=长.6.如图，QA是圆的切线，A是切点，M是孙的中点，过点M作圆的割线交圆于点8、PB并延长交圆于另一点。，连PC交圆于点E连结。E.求证：DEHPA.C,连8 .运用相交弦定理证明：已知点O是等腰三角形ABC的底边3C延长线上任意一点，则AD2-AB2=BD.CD-9 .已知点/为A5C的内心，连结A/并延长交A5C外接圆于点O,交BC于点E,若A8=3,AC=4且出=a，求BC之长.10 .如图，四边形ABNM内接于圆。，84和NM的延长线

12、相交于点尸，求证:AMBM=亦BNPM.（第9题）11 .如图，AB为半圆直径，弦AC和BD交于点E,求证：AB2=AEAC+BEBD.习题71 .设4=8R1=CQ=a,AQ=BP=CR=b,AB=x,BC=y,CA=z,则由相交弦定理得(z+b)=b(y+o),az-by,x+。）=2+。），化简得依二历,三式相加可得=，从而=y=z,即A6C为正三角形.(y+Z?)=Z?(x+a),ay-bx,QPI（第1题）2 .设AE=%,EF=y,作H工EFF点H,连结&G，则由AG?=AO；-,得AG-26,又易知O、HOfi,从而四=/=2,AH=-AG,结合AEA尸=A84C=8,可AGAO

13、355Q即瓦的长度为一.5y6显X+=,825解得y=y4 MX+y)=8,3.延长Q。交Oo于点F,并设OO的半径为，由切割线定理知?A?=PCP”,即102=5(5+2r),解得r=7.5,CEPCCE5又CE1OA,故匕=土，即=/解得3=3.OAPO7.512.55 .作BC边上的高AH交BC于点H,则3=取BC边上点尸，则BPiPiC=BH-PiHCH+PiH)=BH-PiHBH+PiH)=BH2-PiH1,又4斤=由+AH-所以町=A尸+比C=BH2+AH?=4,于是町+也+班oo=4OO.6 （第4题）7 .由4A=AGA产，解得47=3,从而取8/=6,由BJBH=BDBE,C

14、ECD=CFCG,且8D+OE+EC=16,解得DE=2.8 .由切割线定理得MA2=M8C,但也A=MP,所以历p2=MBMC,即竺二坯MBMP又ZBMP=/PMC,从而APMBACMPt所以/MPB=/MCP,注意到/MCP=/POE,所以/MPB=/PDE,从而OE/PA.9 （第曦）10 .以A为圆心，AB为半径作OA,直线DA交OA于点E、F,则BDCD=DEDF=(AD-R)(AD-R)=Ab1-R2=AD2-AB2(这里AB=AC=R).说明若点。为等腰三角形ABC的底边BC上任意一点,则AB2-AD2=BDCD.11 .设IE=ED=x,则8。=C)=/Q=2x(内心的性质)，设AE=y,则由上题结论：BD2-DE2=BEEC,又BEEC=AEED,所以OE2=ae.EO,既有y=3,即.rC_、*rr日4、cr1ABAIAC.1.c.AB+ACAJ_T日_7AJ=2IE,注息到/ZE内心，所以=从而=2于延BC=.BEIEECBCIE2AMPABMPM12 .由AFRWAPNB,得C竺=2,由AAPAN,得丝二丝，所以NBPNNAPA仄AMBMpN=ANBNPM.AMBMPAPM_PMNBNA.PNpA丽(第9题)