22 排序不等式.docx

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1、2.2排序不等式1 .了解排序不等式的数学思想和背景.2 .理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题.I基础初探教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念设1Wa2WWaW历WWb”为两组实数,q,，Crt为b、，历,。的任一排列，ab+a2b2-卜外河为这两个实数组的顺序和;称。ib“+2小-1+-+为这两个实数组的反序犯；称0C+2C2+。C为这两个实数组的乱序和.教材整理2定理（排序原理，又称为排序不等式）设41WazWWbW历WWb为两组实数,c,ci,，Cn为bi,bz,bn的任一排列，则有abn-rciibn+cnbWmci+2c2+ancnab+。2历+af

2、1bnf等号成立（反序和等于顺序和）O=2=。或b=b2=%,可简记作：反序和（乱序和顺序和.已知x2y,M=X4+/,N=3y+y则M与N的大小关系是（）A.MNBWNCMvND.MWN【解析】由排序不等式，知M2M【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型类型1用排序不胃声正明不等式(字母M黑)已知mb,C为正数，2A2c,求证:111瓦2%2%；(2+【精彩点拨】由于题目条件中已明确282c,故可以直接构造两个数组.【自主解答】.心。0,于是54又c0,0,从而拉士同理，b2c0,于是AWB0,.、,于是

3、得上舄,从而,马耳(2)由知嵩2*2*0且心心c0,由排序不等式，顺序和2乱序和得从，+。22+2序与/，+，/+2后一/+q2+从/+从+，2/?2d11故而+F？+/2滔+/+自利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.再练一题1 .已知2求证：+i+第0+及+丽【导学号：38000035)【证明】.()Q1+-+E.,H,1晶-1I届.因此+z+。小。2。3C1na类型2字母大小娴惇不定的不等例设。，为正数,求证：学+W+营4+总【精彩点拨】(1)题目涉及到与排序有关的不等式;(2)题目中没有给出m乩C的

4、大小顺序.解答本题时不妨先设定。WbWc,再利用排序不等式加以证明.(自主解答不妨设OVaWbWg则a33c3,CI-IdIo%/%W益,由排序原理：乱序和顺序和，得!+从上+23c3付2c2a2bbccaab在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论.再练一题1/+/庐+才d+/2 .本例的条件不变，试证明：F-+Fr+F-*+b+c14U【证明】不妨设心b2cX）,则/2*,反当,则/+/.J+/年（乱序和）2标

5、.：+.、+/%反序和），同理，玛+丹+标点乱序和）2/（反序和）2+从j2+。2/+2两式相加再除以2,可得+Z?+c-一+F+Ohr144U类型3利用排序不等式求最一值I卜例国设m4C为任意正数，求比+3+帚的最小值bc【精彩点拨】由对称性，不妨设心bcO,注意到三一+式一=1,设b-rcD-VC法构造数组，利用排序不等式求解.自主解答不妨设a2bc,则aba+cb+c1占2工工,b-rcc-vaa-vb由排序不等式得，CIIb&CbICIab-cc+aa+bb+cc+a+bfC1bc、Cabb+cc+aa+bh+cc+aa+bf上两式相加,则23,Ga、bc、3即4+市专当且仅当=Z?=

6、C时，7+d+一取最小值*b-cc-raa-bZ1分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组.2 .运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值.再练一题fV2Z23 .已知X,y,z是正数，且x+y+z=1,求=7+3+7的最小值.【导学号：38000036【解】不妨设42y2z0,则x2Hy22z2,.由排序不等式，乱序和2反序和.Y2V2T2111-+-x2+y2-+z2-=x+y+z.yzXXjyzjfV?/又x+y+z=1,-+fc-+-1,IyZ1X当且仅当x=y=z=时，等号成立.fFZ2故f=二+匕+一的最小值为1.yzX探究共研型1I排序不等式的特探究

7、点点探究1排序不等式的本质含义是什么？【提示】排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大；反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小.注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列.探究2排序原理的思想是什么？【提示】在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.例口若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需

8、要45min,25min30min,每台电脑耽误Imin,网吧就会损失0.05元.在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间力min时，三台电脑等候维修的总时间为3力min,依此类推，等候的总时间为3力+2亥+白min,求其最小值即可.【自主解答】设攵，白为25,30,45的任一排列，由排序原理知3r+2r2+3325+230+45=180（min）,所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小.1首先，理解题意，实际

9、问题数学化，建立恰当模型.2.三台电脑的维修时间3力+2打+力就是问题的数学模型，从而转化为求最小值（运用排序原理）.再练一题4.有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4X5+5X4+6X3+8X2+10X1=84（分钟）.即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少.1.设02,为正数，且。2,的任一排列为1，a,2,3，则苧aI+华+呼-的最小值为（）a2a3A.3B.

10、6C.9D.12【解析】由题意，不妨设则工2,2上0,平+平+Iaa243I2J43C-;-2+=3,43。2。3当且仅当0=42=43时等号成立.【答案】A2 .设,b,C为正数，P=6f3+P+c3,Q=a2b+h2c+c1a9则尸与。的大小关系是（）A.PB.P2QC.P0,则由排序不等式得a2a+b2b+c2ca2b+b2c-c2a.P2Q.【答案】B3 .锐角三角形中，设尸=+?+,Q=cosC+Aos3+ccosA,则P,。的关系为()A.P2QB.P=QC.PQD.不能确定【解析】不妨设A2B2C,则0282c,CoSAWCoSBWCoSe则由排序不等式有Q=cosC+os8+c

11、cosA2cosB+bcosCccosA=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)=R1Sin(A+B)+Sin(B+C)+Sin(A+C).,a-b+c=R(S1nC+snA+snB)=P.【答案】C4 .若ci,ci,。3是4,5,6的一个排列，则c2c23c,3的最大值是最小值是.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小.J最大值为1X4+2X5+3X6=32,最小值为1X6+2X5+3X4=28.【答案】32285C，dCT廿5 .已知小b,C为正数，心bc,求证：评+而+UPe不+6.【导学号：38000037【证明】:心沁,I./2/2/,111*户/，.b1a1ba,河府由顺序和力乱序和得C15分/C15由+而+否2而+而+时一/十。3十户，.上,上上上C2.a2.b2?+P+7我还有这些不足：(1)我的课下提升方案：