专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析（解析版）.docx

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1、专题15探究向量关系式，几何意义先分析【题型综述】探究向量关系问题解题策略：(1)“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一探究向量式是否为定值例1【2015高考四川，文20如图，椭圆E：0+当=1(曲0)的离心率是也，点P(0,1)在短轴。a2b22上，且尸CP。=1(I)求椭圆E的方程；(U)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于

2、A、B两点.是否存在常数九使得QAOB+/IPAPB为定值？若存在，求7的值；若不存在，请说明理由.【解析】(I)由已知，点C,。的坐标分别为(0,一匕)，(0,b)又点P的坐标为(0,1),且定丽二-1-b2=-1于是，=里，解得=2,匕=Jia2a2-b2=c2所以椭圆E方程为()当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=r+1AfB的坐标分别为(Xi,v),(X2,”)r22+21=联立42得(2F+1A+4权-2=0y=AX+1其判别式=即+8(*+1)04A-2所以再+W=一诉，书=一两从而OAOB+XPA-PB=Xixz+加?+xX2+-DS-1)=(1+)(1+)X1X2+(x

3、X2)+1-(-2-4)fc2(-2z-1)2+1X-I：.=5A-22k2+1豳，当)=1时，-z-2=-32K+1此时，35赤+4历历=-3为定值当直线/3斜率不存在时，直线/3即为直线CD此时近砺+2百万二无.砺+定万=-2-1二-3故存在常数，=T,使得31为+/百万为定值-3.类型二探究向量式是否成立X2V2例2.【2014高考湖南卷文第20题】如图5,。为坐标原点，双曲线6：:一9=1（%：0,0）和h1-2y?Dn椭圆G:F+3=1（凡20）均过点尸（上,1）,且以G的两个顶点和C的两个焦点为顶点的四%b23边形是面积为2的正方形.求C,C2的方程;是否存在直线/,使得/与C1交

4、于43两点，与。2只有一个公共点，且Q4+oQ=43?证明你【解析】设C2的焦距为2q，则201=2c2=2,.=0=1尸（二一）在6上，G：苧+=1=3由椭圆定义知，2=J（平+Q-D2+J（平P+（1+1=23,22J2.2=3,以=一4=2,.GC的方程分别为/一与=1，与+5=1（2）不存在符合题设条件的直线.若直线，垂直于X轴,即直线，的斜率不存在:因为，与G只有一个公共点:所以直线的方程为/：X=Ji或X=-i：当x=0时,易知幺（立灼出（屈5）,所以W+词=2I画=动此寸W+得p5当=-B立同理可得w+砺II与I.当直线/不垂直于X轴时:即直线7的斜率存在且设直线，的方程为联立直

5、线与双曲线方程y=Ax+w2=2xix2+人机（XI+%）+M=3kk?3；,联立直线/勺椭圆，(2尸+3卜2+4除优+2加2_6=0,因为H.线/与椭圆只有一个交点,所以=0=16/加28(242+3)(一3)=0,化简可得2公=72_3,因此OAOB=x1x2+y1y2病+33k2-3m2-k2-3八+：=：Ok2-3k2-3k2-3于是O1+OB2+2OAOBOA+OB-20408.即|。4+。叶pA-。可所以IOM+。制网.综上不存在符合题目条件的直线/.学&科网类型三探究向量式成立的条件例3【2013年高考，天津卷理】设椭圆二+1=1(ob0)的左焦点为E离心率为乌过点广且与X轴a2

6、b23垂直的直线被椭圆截得的线段长为延.3(I)求椭圆的方程；(II)设A,B分别为椭圆的左右顶点，是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点，且AGDB+AD-CB=,若存在，求&的值，不存在，说明理由.【解析】(I)设尸(-c,0),由=当知，a=辰，过点F且与X轴垂直的直线为X=代入椭圆方程a3有+提=1,解得y=半，于是乎=竽，解得b=0,又一d=b从而=g,c=1,所以椭圆的方程为丁-k=13k2-62+3F(II)设点G(Q)Aa2S),由F(-1,O)得直线CD的方程为V=Mx+1),代入椭圆方程，Ai消去y,整理得(2+3后)x2+6好X+3好一6=0,求解可得演+X2

7、=三!正因为Z（-5,0）,所以,4CDB+ADCB=（x1+抬JI）（指一孙一乃）+（W+百母郃一再，F）=6-2x1x1-2y1y2=6-2x1x1-2k1（x1+1x2+1）=6-（2+2k2）2-2k（甬+x2）-2k，=6+2P+122+3k2Ot2I10由已知得6+K;=8,解得k=E学&科网2+3公类型四利用向量探究曲线过定点XV1例4.（2012福建理19）如图，椭圆E:不+会=1（。60）的左焦点为6,右焦点为鸟，离心率e=/。过片的直线交椭圆于AB两点，且AABB的周长为8。（H）设动直线/:y=乙+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点。试探究：在坐标平面

8、内是否存在定点M,使得以P。为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。【解析】（I）设C=Jf贝J0=1=2c=3a2=4Z2a2团后的周长为+1第1+此I=肛肛+即出啊=8O44=8=2=-73,c=12J椭圆E的方程为1+=143（II）由对称性可知设P（FJo）Gb0）与，M（x,0）直线，:J-Jo=一扫（*一天）=。（4,4o0MPMQ=O=(X-x-4)+y0丝型=o=F(XT)=(1I)(X-3)(*)Jo(*)对4w(-2,2)恒成立=X=1,得M(1O)(4k2+3)x2+8Atwx4w2-12=0y=Ax+w(法2)由422得+=143.动直线，与椭I

9、S1E有且只要一个交点尸(毛JO)，W0且=(),即64A-4(4M+3X4z-12)=0,化简得4M-z+3=0,Akm4k,3n4左3此时看=775-=-,0=+w=-,.P(：一),4A,+3mmmmIx=4由.得2(4,4+w)y=Ax+w假设平面内存在定点AI满足条件，由图形对称性知，点，U必在X轴上,设M(X1,0),则声荻=O对满足式的，左恒成立.-4k3一MP=(一七，一),Ag=(4一项，4k+m),mmIic3k -(一+X4再)+-x(4k+桁)=0,整理得(4毛-4)一+4-4甬+3=0,4x-4=0 .2._解得甬T,M-4再+3=0 存在定点M(1,0),使得以尸。

10、为直径的圆恒过点M.y=kx+m(法3)由一xiV2得(4F+3)W+8如优+4J2=0,+=143:动直线I与椭圆E有且只要一个交点P(X0,No)，加工。Iz1=O,即64%27w2-4(422+3)(4机2-12)=0,化简得4公一+3=0,x=4由1得Q(4,4%+m).学&科网y=kx-m假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在X轴上,取左=0,m=有，此时P9后)，相)，以尸。为直径的圆为(工一2尸+。一“)2=4,交X轴于点监(1O),的(3,0)；1 35、3、4勺取左=不加=2,此时尸(1,-),。(4,0),以尸。为直径的图为a-；):+。-；):=亍，交X2

11、 22416轴于点M(1O),M(4,0)j.若符合条件的点M存在，则Af(1.0),以下证明”(1,0)就是满足条件的点：一4k3一FP=(一一一1,一),A0=(3,4左+加)，mm/.MPMQ=-3+3=0,mm，恒有声，荻，存在定点”(i,o),使得以尸2为直径的圆恒过点(【扩展链接】1 .设圆锥曲线C的焦点F在X轴上，过焦点F且斜率为上的直线/交曲线C于A,8两点，若AF=2FB(20),e=y+k223.已知椭圆三+与=1(Q0)的两个焦点分别为片(一c,0)和K(C,0)(c0),过点E(,0)的直线ahc与椭圆相交于AB两点，若电=4碗(41),则直线一定过(0,与或(0,一份

12、.4.如果平面内有O,AB三点不共线，设SMoB=；J1G121丽)一(豆丽)2.【新题展示】1.12019湖北恩施2月质检】已知抛物线C：y2=2p%(p0)的焦点为凡其准线1：%=-1与%轴的交点为K,过点K的直线2与抛物线C交于4B两点.(1)求抛物线。的方程；(2)点4关于%轴的对称点为0,证明：存在实数t(0,1),使得=t+(1-t).【思路引导】(1)根据抛物线的准线为直线1：=-1,可求出p,进而可得抛物线方程；|.+12 .在圆锥曲线中，过焦点F不垂直于坐标轴的弦为AB,其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于R,则FR_e_AB2(2)先设直线I的方程为x=my-1,x1,y1)

13、,见无2了2)，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，求出直线8。恒过定点F,进而可证明结论成立.【解析】(1)因为抛物线Cy2=2p双p0)的准线为直线1：=-1,所以解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4.(2)易知点K的坐标为(-1,0),据此可设直线，的方程为=my-1,4/,%),Ba2必).联立整理得y2-4啊+4=0，故11；因为点4关于%轴的对称点为。，Aa1，力)，所以。(工-%).y2y1则直线8。的方程为y-力=-(Xr力勺T1y2+y得y-V7=(X-X7),2(my2-1)-(my1-1)kZ)y2y得y-y2=；(-%2)，m(V2-%)4y即y-y2=(x-).y-y44必令y=0,得0_y=()，y2-y4za/y-y,一/+丫必71y241 i=Vo-=1424444所以直线BD恒过定点(1,0).所以点F(1,0)在直线BD上，所以不妨令丽=tDB(t(OJ).因为HF=HD+丽,所以/=+tf,所以KF=KD+t(KB-KD),所以=(1-t)疝+t.所以存在实数t(0,1),使得=t辐