专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值（解析版）.docx

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1、专题10已知不等恒成立，讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数+函数最值；直,接化为最值+分类讨论：。缩小范围+证明不等式；分离函数+数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值,的优点是函数结构简单，是不等式.恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标。准。【典例指引】例1.设y=x)是g(x)=e在点(0,1)处的切线.(I)求y=(x)的解析式;()求证：/(x)g(x):(In)设MX)=g(x)+1n(x)-r,其中R.若(x)1对x0,+oo)恒成立，求的取值范围

2、.【思路引导】(I)由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f(X)的解析式；(II)令MX)=求导证得n(x)n(0)=0;x+1,可得/(x)0,进而得MX)在区(111) x)=ev+a,当2时，由(I)得e*v7x+1间0,内)上单调递增，MX)z(0)=1恒成立，当2时，可得(力在区间0,+8)上单调递增,存在(0,+8),使得力(o)=O,(xo)(O)=1,此时力(x)1不会恒成立，进而得的取值范围.试题解析：I)设g(x)=e则g(x)=e所以g(0)=1,所以/(x)=x+1.(11) w(x)=g(x)-(x).m(%)满足m(0)=0,fiw,(x)=g,(x)-1

3、=ex-1.当x0时，M(X)0时，77,(x)0,故m(x)单调递增.所以，/w(x)w(0)=0(Vx/?).学*科网所以f(x)g(x).2时，由xc0：+8),目(x)的导数/(x)=ex-=(U)UO，+i)a+】)所以I(X)在区间O,+)上单调递增.因为Y(O)=2-0,1+1na于是存在毛e(0,+8),使得“(毛)=0所以MX)在区间(0,七)上单调递减，在区间(如+8)上单调递增，所以()/(x)0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为/(x)nin,Wmm,若/(x)f(%)Vo恒成立Ofa)maxV0x)ag(x)f(%)g(%)恒成立，可转化为

4、fWming(x)max(需在同一处取得最值)f(%)min9(，)max.例2.函数/(x)-Jn(w+1)(4工O).(I)讨论/(外的单调性；(II)若O且满足。：对Wq,26(-1jp都有(j-/(K)IIiB-InJ试比较广，与J:的大小,并证明.【思路引导】(1)求出尸(x),讨论两种情况分别令1(x)O可得增区间，/(x)0时,fMO,/(X)单调递增，又/(0)=0,所以当TTq时，v)0,/O)单调递熠；当。0时，Jr(X)0,/(X)单调递增；当x(,-时，/(幻0时,由-1之一1得1a由(I)知/(X)在-1O)上单调递减，在0,1上单调递增，所以对W,七w-U),都有|

5、/)一/区心也3-1112等价于夕)W3-E2,即)4号解1学*科网10)-(0)n3-n1n(a1)1nv3令g(r)=x-h-1Injr,gV)=-f-=4T,Ve)IeJXea当JrdOJ时,g(x)0，g(x)单调递增；。即n-(-1)ns0,所以二9.学*科网例3.己知函数/(力二擀-1R,e为自然对数的底数)在点(OJ(O)处的切线经过点(2,2).(I)讨论函数*x)=(x)+Qx(K)的单调性：(I1)若PxwR,不等式eV(x)c(x-1)+1恒成立，求实数C的取值范围.【思路引导】(I)求出,(x),由过点(O,b1),(2,-2)的直线的斜率为2二生义=一叱=/(0)=-

6、6可得0-22b=1,讨论两种情况，分别由f(x)0得增区间，Ir(X)0得减区间；(II)原不等式等价于不等式e*+cx-c0恒成立，利用导数研究g(x)=e*+cx-c的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：1)因为0)=6T,所以过点(0力-1),(2,-2)的直线的斜率为左=1一;二,2)=一空,而“力=一名，由导数的几何意义可知，0)=-6=-空，所以6=1,所以f(x)=-1.则e2e产(X)=OX+3T,尸(x)=a-3,当0时，尸(x)0时，ee由尸(x)=-=0得X=Tna,当XW(YD1Ea)时，Fa)0,函数尸单调递增.(II)不等式e(x)c(x-

7、1)+1恒成立，即不等式/+s-c0恒成立，设g(x)=ejt-cx-c,x)=ex+c,若c0,则g(x)O,函数g(x)单调递烟”.不存住最小值，不满足题意；当c0时，由g(x)=F+c=O得X=InX(-c),学*科网当Xe(-,In(-C)时,(x)0,g(X)单调递增，所以g(x)g(In(F)=+dn(-c)-c=-2c+dn(-c),要使得g(x)O恒成立,只需-2c+c1n(-C)0恒成立，由于c0,所以有1n(y)W2,解得-c0,即当cc-J。时，g(x)0恒成立，即/+cx-cO恒成立，也即不等式o恒成立，所以f(x)单调递增，因为f(1)=O,所以f(x)有唯一零点，即

8、a0符合题意;当a0时，令f()=o，解得X=H列表如下:X岫(+Hf(x)-0f()极小值71由表可知，f(x)min当1,即a=2时，R)min=f(D=O,所以a=2符合题意;J2GD当F1,即0a2时，f(aj0,且e隈J所以e,故存在Xea,1使得1)(1)=0,所以0a2时，f/M设a-1=t1,3-2-1(1)=t11t=h(t),1则h(t)=1-O,t所以h(t)单调递增，即h(t)h(1)=O,所以f(a-1)O,又因为a-11所以使得f(x2)=f(1)=0,所以a2不符题意:综上,a的取值范围为(-8,ou2.3)g(x)=a1nx+ex-ex,贝IJg(X)=一，(x

9、)=e”4,xX当C耐，g(”O恒成立，所以g(x)单调递增，所以岭)Ng(D=0,即a2。符合题意；当a0恒成立,所以g(X)单调递增，.a1-1n(e-a)又因为g(1)=a0,1n(e-a)1(e-a)所以存在XOW(IJna),使得g(%)=0,且当xW(1,X)时，b(x)O,即g(x)tt(1,Xo)上单调递遍所以8(%)取1)=。，即a1都成立，求k的最大值，【思路引导】(1)由题意转化为a配恒成立，设g(x)=-核，求得导数和单调性，可得极值和最值，即可得到所求范围；(2)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a=1,k1都成立，可得k1恒成立，设h(x)=/+JnX，x1,求得导数，设k(x)=2-X-InX-1，1.求得导数，由零点存在定-1理和单调性，可得h(x)的最小值，可得k的最大值.【解析】、Inx函数f(x)0t同成立，即ax?+x1nx0恒成立，可得a-一恒成立，XInx、InX-I设g(x)=-，g(x)=一丁，XX当0xe时，g()e时，g(x)O,g(x)递增,Ine11可得x=e处g(x)取得最小值，且g(e)=所以a-;e