专题2.13 交点零点有没有极最符号异与否（解析版）.docx

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1、专题13交点零点有没有，极最符号异与否【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤:构造函数/?(X)=f()-g()；求导求(劝；研究函数万(X)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；画出函数(X)的草图，观察与1轴的交点情况，列不等,式；解不等式得解.探讨函数y=f(x)的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.【典例指引】例1.已知函数/(x)=Hnx-J,R.若曲线y=(x)在点(1,/)处的切线与直线/+2y=0垂直，求的值；(ID当。=1时，试问曲线y

2、=f(x)与直线y=2x-3是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由.【思路引导】(1)根据导数的几何意义得到/(1)=+1=2,即。=1；(2)构造函数g(x)=hu-g-2x+3,研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到g(x)在(0,1)u(1,+oo)恒负，g(1)=0,故只有一个公共点.试题解析：(I)函数X)的定义域为卜忖0,()=+4又曲线y=()在点(1,/)处的切线与直线x+2y=0垂直，m(1)=a+1=2,BPa=I(H)当=1时，/(x)=1nx-,xe(01+x),g(x)=1nx-2x+3XXg(x)=-2=-1)-.n.XXX当工1时，g,(

3、x)0,g(x)在(1,+oo)单调递减;当OxO,g(x)在(0,1)单调递增.学科*网又g=0,所以g(x)在(0,1)u(1,+)恒负因此，曲线y=(x)与在线y=2x-3仅有一个公共点，公共点为一(1,-1).例2.已知函数f(x)=1nx,h(x)=ax(a为实数)(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数m,使得对任意的x,+oo都有函数y=x)+的图象在函数g(x)=12JXX图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由(+电2*1.99)2【思路引导】(I)函数“X)与MX)无公头点转化为方程当二在(0,+00)无

4、解，令MX)二弓，得出X二e是唯一的极大值点，进而得到&ax,即可求解实数。取值范围;(II)由不等式Inx+生土对x(1+oo恒成立，即7/-X1nX对x1+00恒成立，令XX12JU)r(x)=-x1nx,则尸(X)=e*-Inx-I,再令/(x)=e-Inx-I,转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结.论.试题解析：-故实数。的取值范围为+。)假设存在实数m满足题意，则不等式InX+?：对XW恒成立.即m令(P(X)=F-Inx-I,则(p(x)=ux-1X,C(x)在；上单调递增，,；=e-20,且h(x)单调递减；当X(x0,+8)时，(x)单调递增，则(x)取至U最小值(

5、x0)=ex。-MXO-1=x0+,-12Jx0-1=1O,xOYxO(1、r,(x)O,即r(x)在区间-,+内单调递增、2(11111mr-=e2In-=e2+-In2=1.99525,UJ222,存在实数m满足题意，且最大整数m的值为1.学科*网例3.已知二次函数Ar)的最小值为一4,且关于X的不等式八r)0的解集为卫一1x3,xR.(1)求函数兀V)的解析式；(2)求函数g(力二-41nx的零点个数.入【思路引导】根据/(x)是二次函数，且关于1的不等式/(x)0的解集为rTx3,rR,设出函数解析式，利用函数/(x)的最小值为-4,可求函数/(x)的解析式；(2)求导数，确定函数的单

6、调性“可得当30x3时，g(x)g(1)=-45-20-225-1-22=90,结合单调性由此可得结论.试题解析：(I)V/(X)是二次函数，且关于X的不等式/(x)0的解集为RTx3eR,.*.,(x)=a(x+1)(x-3)=0xx-2ax-3a,且O.d=1)=4=4。=1,故函额力的解析式为工)=丫一2%-3.r2-2r-33(2)，：g(x)=41nx=X41nx-2(x0),g，(X)=+2，=(XOf3),令gx)=。,得X1=I,x2=3.当X变化时，g(x),g(x)的取值变化情况如下:X(U)1(,3)3(3,+)g()+OO+g(工)递增极大值递减极小值递增当0x3时，g

7、(x)g(1)=-425-1-22=90,又因为g(x)在(3,+8)上单调递增,因而g(x)在(3,+)上只有1个零点，故g(x)在(3,内)上仅有1个零点.学科*网点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单.调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数.例4.已知函数f(x)=1nx-4,(x)=1nx-(x-1).(I)求证：当x0时，/(x)0;(II)若函数g(x)在(1,)上有唯一零点，求实数/的取值范围.【思路引导】/(x)4)=M4-=2(

8、1n2-1)1时，g(x)g=0,所以g(x)在(1,+00)上没有零点，若r1,g()在1,+8)上是减函数，所以当x1时，g(x)g(I)=0,所以g(x)在(1,+)上没有零点，若Oy10,即4时，nxyx(x-1),即g(x)O,说明存在使得g()0时，/(x)(4)=1n4-4=2(1n2-1)05()g1时，g(x)=g-z0,所以g(x)在1,+oo)上是增函数，所以当元1时，g(x)g=0,所以g(x)在(1,+8)上没有零点，所以f0.不满足条件.若1,则当x1时，g)=g1时，g(x)g(1)=O,所以g(x)在(1,+8)上没有零点，所以r1不满足条件.若O1Xt当X变化

9、时，g(%)与g(%)的变化情况如下表：由(I)知当工耳0时，/(%)电时，x甬且从而InXV&r(xT),即g(x),使得g&)0,结合上表可知此时函数g(x)在(1,F)上有唯一零点，所以OVVI满足条件.综上，实数r的取值范围为(0,1).点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0u；，使得g(M)0,根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；【新题展示】1.12019黑龙江大庆二模】已知函数f()=2-2a1nx(aER)(I)a=,点M在函数y=f(x)的图象上运动，直线y=x-2与函数y=f(x)的图象不相交，求点M到直线2y=x-2ff巨离的最小

10、值；(II)讨论函数f(x)零点的个数，并说明理由.【思路引导】(1)首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；(2)对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数.【解析】1(I)幻的定义域为(0，+8),f(x)=2x-.由题意，令f(x)=2x-=1,即211=0解得x=1或X=-(舍去).X21-1-2rVf(I)=I,，M(1,1倒直线X-y-2=O的距离d1=也为所求的最小值V2/H、,+2a2(x-a)(H)法一：f()=2x-=X(1)当ao,f(x)在(O,+-

11、)上是增函数.22*f(e)=e-2a11-2当a时，a1ae1故f(x)恰有一个零点.1211f(ea)0,*f(ea)f(ea)0时，令f()=,得X=Ji或X=-M(舍去).当0x3时，f()J时，f()O.f(x)在(0,狗上是减函数,在3,+8)上是增函数，f(x)最小值=f(x)极小值=f(肉=a-aIna.当a-a1na=O,即a=e时，恰有1个零点.当a-a1naO,即Oae时，没有零点.当a-a1nae时，f(1)=10.令x=ea，K,Jea(Jaf+)f(ea)=(ea)2-2a2令g(x)=J-亚x(xe),g(x)=ex-20:g(x)(e,+8)上单调递增，.ex润X(Xe)*ea2a(ae)*f(ea)=(ea)2-2a2OVf(I)f(a)0,f(ea)f(a)0，f(x)有2个零点.综上，函数f(x)当ae时，有2个零点；当Oae时，没有零点.()法二：若f(x)=O,则2a=(0且xx1).Inx设g(x)=。且X*1Y=2a.问题转化为讨论y=g(x)的图象与直线y=2a交点的个数Inx.21n-X(21-1)(X)=；=(。且XD.令葭(X)=水导X=veinXInX当Ox1或1x,g(x)当x,