专题2.11 已知不等恒成立分离参数定最值（原卷版）.docx

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1、专题11己知不等恒成立，分离参数定最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：分离参数+函数最值；直接化为最值+分类讨论；缩小范围+.证明不等式；分离函数+数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限(超出教学大纲要求)；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不.等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，.解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分

2、类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面,解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。俗话说，形续数时难入微。【典例指引】例1己知函数f(%)=e*(ar+b)-e*1nx.(1)若函数/(x)在x=1处取得极值，且b=1,求。；(2)若b=-a,且函数/(x)在1,+)上单调递增，求”的取值范围.解：(1)r()=(0x+b-1nx+-J,由题意可得：,(1)=0,又6=1,所以=O.经检验适合

3、题意.(2)/(x)=ex(ax-a-1nx),f,(x)=ex-dt-1nx+6r-evr-1nx-f(x)在1,+)上单调递增=/(X)O在1,+)上恒成立=6t-In-01,+oo)上恒成立法一(分离参数+函数最值):则2+以在1,+Oo)上恒成立，令g(x)=如+二，XXXx下面求g(x)在1,+8)上的最大值.g()=!_油F_-,令MX)=X一X1nX一2,则(x)=1-(11nx+x)=-InX.显然，当X之1时，h,(x)O,即MX)单调递减，从而(X)WMI)=-1.所以，当x1时，g(x)40,即g(x)单调递减，从而g(x)ffMX=g(1)=1.因此，a.法二(直接化为

4、最值+分类讨论)：令g(x)=or-InX-1r(x)=-一.令/I(X)=Or?),当=0时，h(x)=-X+1O,所以g(x)O,即g(x)在1,+oo)上单调递减.而g(1)=-1=T0时，则,开口向上(方案一)：-【.若A=I-40,即;时，ZZ(X)0,即g0,xw1,+oo),所以g(x)在1,+oo)上递增，所以gmin(v)=g=T20,即1.若A0,即0a；时，此时g(1)=1O,即/(x)0,xe1,+8),所以g(x)在1,+8)上递增，所以8皿山(x)=g(1)=-12。，即1.II.若对称轴X=-!-1,即0，时，则g(1)=-10ng(力0ng(%)在1,+8)上为

5、增2。I2函数，则g(x)g=-10,故21适合题意.例2.(2016全国新课标文20)己知函数/(x)=(x+1)1nx-(x(I)当=4时，求曲线y=(x)在(Ij)处的切线方程；(II)若当x(1,+)时，/(x)0,求的取值范围.简析：(I)/(x)的定义域为(0,+8).当=4时，/(x)=(x+1)1nx-4(x-1),(x)=1nx-3,(1)=-2,(1)=0,所以曲线y=(x)在(Ij)处的切线方程为2x+y-2=0.(II)法一(参考答案，系数常数化)：/(x)=(x+1)1nx-(x-1)O在1,+co)恒成立OInX-0qr.、一4a/、a(x-1),/、12ax2+2

6、(1-0)x+1小C在1,+oo)怛成立，g(x)=1nx=g(x)=-/=;4，g(1)=Ox+1X(x+1)x(x+1)当2时，则Xe(1+)时，X2+2(1-d)x+1x2-2x+1O,故gO,g(x)在(1,+)上是增函数，故有g(x)g=O当42时，则g，(X)=OnXI=-J(cif-I,2=-1+y(a-)-11,由耳=1=041，故x(1,%)ng(x)O，g(x)在0,)上是减函数，故有XG(1X2)ng(x)2不适合题意.综上，实数。的取值范围为2法二(直接化为最值)：f(x)=(x+1)1nX-(-1)OS1,+o)tHS.,则尸(“=皿工+一(导函数为超越函数)；/)=

7、B-5=gO=r)=1nx+g+1-在口,+co)为增函数，则f(x)/(1)=2-(1)当2-40即2时，贝IJr(X)7(力=2O(当且仅当x=1,=2时，取“二”)，故F(X)在1,位)为增函数，则有/(x)/=0,故/(x)=(x+1)1n%-(X-I)0在1,4oo)恒成立，故2适合题意.(2)当22时，则r)f(1)=2-40,故/(力=0在1,+00)有唯一实根Xo，则/（力在口，%0）为减函数，在民p+）增函数，又有了=0,则存在XOe1,+）,使得F（Xo）。，故2不适合题意.综上，实数，的取值范围为2.法三（分离参数）：/（工）=（1+1）111工一4（工一1）0在1,+8

8、）恒成立04区山也在（1,+0）恒成立（端点/、(x+)nx、x-2nx%=1自动成立），则.设g(x)=Tng(X)=h(x)=x-2nx=h,(x)=1+-=-+10=(x)=x-21nx1,-)为增函数，贝IJXXXXrXh(x)(1)=O=g,(x)0=g(x)=(A+邛受在(1,+O)为增函数，又因X-I.呼g(x)=呼片号!二对+向=2,故实数”的取值范围为2法四(缩小范围)：/(x)=(x+1)1nx-o(x-1)0在1,+)恒成立，且/=0,则存在用1,使得/(x)在1,向上为增函数n/(x)=1nx+E!-O在1,机上恒成立，令X=Inr(I)0=a2.又当2时，=1!=MO

9、=(x)=1nx+-+1-a在I,+8)为增.函数，则/(x)r=2-0(当且仅当(当且仅当X=IM=2时，取“=”)，故/(x)在1,+/)为增函数，则有/(x)/(1)=0,故/(x)=(x+1)InX-(x-1)O在1,+oo)恒成立，故.2适合题意.综上，实数。的取值范围为2.点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线/(x)=(x-iy+b1nx在点(Ij)处的切线的斜率为1；(1)若函数/(x)在2,+8)上为减函数，求”的取

10、值范围;(2)当x1,+)时，不等式f(x)x-1恒成立，求4的取值范围.解：(I)f,(x)=2ax-2a+-由题知ff()=b=1.*./(x)=(x-)2+Inx,1.124,(x)=2ax-2a+-=2+1/(x)在2,+oo)上单减，r(x)O在2,+)上恒成立即20?一20r+10在2,+oo)上恒成立，2(-p(II)法一(直接化为最值)令g(x)=/(X)-X+1=(x-1+/xx+1,厕g(x)O在1,+)上恒成立,“1(2-I)(X-I)g,(x)=2ax-2a+1=1XX当20即0时，g(x)O,g(x)在1,+)上单减，g(x)g=O,符合题意;当时，g(x)在1,当0

11、)上单增，当x1时,g(x)g=0,矛盾;上单增,而g士+1=/士+10,矛盾;综上，a0.法二(分离参数)f(x)-x+1Oa-!坐在(1,+oo)上恒成立(端点X=I自动成立)(1),W,(、x-1-InxuX+-na,/C1.fx112(x-1)C设g(x)=Jng。)=工7A(x)=-x+21nx(x)=-j-1+-=-0(X-I)(X-I)XXX=MK)=1-x+2InX在1,+)上为减函数，则。(x)(x)1,使得g(力在1,向上为减函数=g(x)=2r-2+B-10在口,加上恒成立，又有g(1)=0.则存在n1,使得g,(x)在,n上为减函数=8(工)=2-0在。,上恒成立，又有

12、g*(1)=2-10n4g.又当时，则/(力=2公2a+=O-1)(1)2XX(1)若0时，gx)O,g(力在1,40)上单减，.，8(4)&6=0,符合题意;(2)若0J时，则2故g(x)在弓)上单减,+oo上单增，而=,矛盾;综上，实数。的取值范围为O点评：(1)在端点处恰好适合题意，分。离参数所得函数却在Xf+oo时得到下确界，值得留意.(2)缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。(3)构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数g(%)=(x-1)2-x+1+1nx分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为x=1,而二次函数的零点为x=1及X=1+1,又知当01,故易得a2ag(f1)=”(1)O,从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件：(1)戢/(x)=0及Ii巴g(x)=O:(2)在点。的去心邻域内,/(X)与g(x)可导,且g(%)w;(3)Iim，卜？=I,那么Iim=Iim，J?二1.法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件:f,g(