专题3.4 目标范围与最值函数处理最相宜（原卷版）.docx

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1、专题4目标范围与最值，函数处理最相宜【题型综述】圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：几何法：若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；代数法：若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.【典例指引】类型一角的最值问题例112

2、017山东，理21】在平面直角坐标系仙，中，椭圆E：+=1(q00)的离心率为容焦距为2.(I)求椭圆E的方程；(H)如图，动直线/：y=4x-日交椭圆E于AB两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为&，且桃2=乎，M是线段OC延长线上一点，且IMq:|A6|=2:3,圆M的半径为IMC|,OS,OT是圆M的两条切线，切点分别为S,T.求NSO7的最大值，并求取得最大值时直线/的斜率.【解析】类型二距离的最值问题Ii39例2.12017浙江，21(本题满分15分)如图，已知抛物线炉=y,点A(,8(,),抛物线242413上的点尸(My)(-CX0)的离心率是抛物线氏d=2y的焦点尸是C的一个

3、顶点.(J)求椭圆。的方程;()设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线/与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点、为D,直线。Z)与过P且垂直于X轴的直线交于点M.(i)求证：点例在定直线上；(ii)直线/与)，轴交于点G,记APFG的面积为5，APOM的面积为S2,求羡1的最大值及取得最大2值时点尸的坐标.【解析】【扩展链接】1过椭圆=1(0,b0)上任一点A(,yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且凝0=4乜(常数).CoV2.若椭圆r+0,b0)与直线/:y=Ax+机交于4(x,y),8(工),当)，则ab(1)=b2+a2k2-m20x1+x

4、2_-Ikma2=b2+a2k2_rn2a2-a2b2b2+a2k2Itnb2%+%=eFm2b2-k2a2b2x+x2=-75772b-+a-k12aby(+k2)(h2+a2k2-m2)_abmb2+a2k2-m2i二西滔P，FTk【新题展示】X1y411.12019福建莆田质检】已知椭圆Gf+=1(b0)的左，右焦点分别为&，离心率为三，P是a2b22C上的一个动点。当P为C的上顶点时，AQPF2的面积为小。(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线尸2与C的另一个交点为Q。若存在点T(t,O),使得ITPI=I7Q,求的取值范围。【思路引导】(1)结合椭圆性质，计算a,b的值，得到椭圆方

5、程，即可。(2)设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式，用k表示t,结合函数的性质，计算范围，即可。22C2.12019山东日照一模】已知左、右焦点分别为F(-c,0),F2(c,0)的椭圆u1+1=i(abO)过点函,空)，且a2b22椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.求椭圆C的离心率和标准方程。JP,Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1,求IPF111QFJ的取值范围.【思路引导】(I)利用椭圆C过点(百，1),椭圆C关于直线X=C对称的图形过坐标原点，推出a=2c,然后求解椭圆C的离心率，标准方程.(H)设A(Xry1),B(X2,y2),利用

6、中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直线AB的方=k(+1)程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设FR：y=k(x+1),联立x?y2,设P(X3,y3),Q(X4,I+=1(43y4),利用韦达定理，结合IPFI1=JmIX3+11，IQF1I=化简IPF1I1QF小通过kJ,求解IPF1IIQFI1的取值范围.22TXy13.12019湖北部分重点中学联考】己知椭圆(：=+=1似130)的左、右焦点为F/2,离心率为-，点P在a2b22椭圆C上，且APFF2的面积的最大值为下.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线上y=kx+1(k0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在X轴上存在点G(

7、m,0),使得IGM1=IGN|,求实数m的取值范围.【思路引导】(1)根据离心率得到2，由APFE的面积的最大值为下得到be=8再结合椭圆中a2=b?+c?求出参数的a2值后可得方程.(2)将直线方程代入椭圆方程消去y得到关于X的二次方程，结合根据系数的关系求出线k段MN的中点Q的坐标，由IGM1=IGN1得GQ1MN,进而有iq卜乂川=1,并由此得到m=最后根3+4k据基本不等式得到所求范围.4.12019广东韶关1月调研】已知椭圆E的中心在原点，焦点在谢上，椭圆的一个顶点为(O,-),右焦点F到直线x-y+3=O的距离为28.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过F作两条互相垂直的直线11

8、且交椭圆E于A、C两点，1交椭圆E于B、D两点，求四边形ABCD的面积的取值范围.【思路引导】(1)由题意布列关于a,b的方程组，解之即可；(2)讨论直线的斜率，联立方程利用韦达定理表示弦长，进而得到四边形ABCD的面积，借助对勾函数的图像与性质即可得到结果.225.12019湖北黄冈元月调研】己知O为坐标原点，椭圆C：+=1(abO)的左、右焦点分别为F1，F2,a2b2右顶点为A,上顶点为B,若IoBIOF2I,IAB1成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的距离的最大值为2眄+4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦MN与PQ,求IMN1+IPQ1的取值范围.【

9、思路引导】根据IoBOF2,AB成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的距离的最大值为2眄+4.列出关于a、b、C的方程组，求出a、b的值，即可得出椭圆C的方程；(2)对直线MN和PQ分两种情况讨论：种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线MN的方程为y=k(x-4),将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出MN的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出PQ的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围.最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案.6.12019广西柳州1月模拟】己知点F(-1,0),直线1：

10、x=-4,P为平面内的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为点H,F(Sf+；PiH)=0.(I)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线AB与MN分别交轨迹C于A,B,M,N四点.求A*B+M*N的取值范围.【思路引导】(1)设动点P(x,y),则H(-4,y),由件-；PwPF+扣)=0展开计算得到X,y的关系式即可；(2)当直线AB的斜率不存在(或者为0)时，可求出A,B,M,N四点坐标，即可得到AB+MN=7;当直线AB的斜率存在且不为。时，设为k,直线AB的方程为y=k(x+1),与轨迹C的方程联立，结合根与系数的关系可得到A+MN的表达式，然后利用函数与导数知识可求出I

11、AB1+MN1的取值范围。7.12019江西九江一模】己知抛物线Uy2=2px(p0)的焦点为F,直线y=k(x+1)与Cff1切于点A,AF=2(I)求抛物线C的方程；(II)设直线I交C于M,N两点，T是MN的中点，若IMNI=8,求点T到y轴距离的最小值及此时直线I的方程。【思路引导】(I)设A(沏，和)，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0,结合抛物线的定义，可得抛物线方程；(II)由题意可得直线/的斜率不为0,设/：x=my+ntM(x,y),N(x2,联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程.8.12019广东广州一模】已知椭圆C：上

12、+上=1(aO,bO)的离心率为点P(厨m)在C上.a2b222(1)求椭圆C的方程；(2)设F/2分别为椭圆C的左右焦点，过F2的直线I与椭圆C交于不同的两点A、B,求aF/B的内切圆的半径的最大值.【思路引导】根据离心率可点在椭圆上，结合性质a2=b2+c2，列出关于a、b、C的方程组，求出a、b,即可得结果；（2）可设直线I的方程为X=my+1,与椭圆方程联立，可得（3m?+4）y?+6my-9=0,结合韦达112Ym2+1c定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得SAFAB=+j2|yi-y=1换元后利用导数可得与FAB的1I.己知椭圆1（Qb0）的离心率e=*,椭圆过点（20,0）（1

13、）求椭圆C的方程；（2）直线/的斜率为1,直线/与椭圆C交于A,8两点，已知尸（2），求APAB面积的最大值.【思路点拨】（1）由椭圆的离心率得到a,b的关系，再由椭圆过定点P得另一关系式，联立后求得a,b的值，则椭圆方程可求;（2）设出直线1的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于X的元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出AB边上的窗，代入面积公式后利用基本不等式求最值.【详细解析】X2V22.已知乙尸2是椭圆3+q=1（bO）的左、右焦点，点P（-1,e）在椭圆上，e为椭圆的离心率，且点M为椭OTD圆短半轴的上顶点，AMF1F2为等腰直角三角形.学科网（1）

14、求椭圆的标准方程;（2）过点2作不与坐标轴垂直的直线1,设，与圆，+、2=12+62相交于力上两点，与椭圆相交于CD两点,当耳4F；B=皿时，求ApQ的面积S的取值范围.1【思路点拨】根据条件列出关于,b两个独立条件：b=c,滔+d=1,解方程组可得产=1,q2=2,（2）设直线2的方程为=W+1,力（勺，y1）,b（2，y2）,将条件耳448=六卬1用坐标表示，联立I11直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简条件得2R-.因为S/d=3尸2%-y4,所以利用韦达定理计算必-%1=呼+?最后根据自变量范围，利用对勾函数求函数值域.JT+2）23m2+41最大值为3,再结SAFAB=4ar=4r可得结果.