专题3.3 图形面积求最值函数值域正当时（解析版）.docx

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1、专题3图形面积求最值，函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略：(1)求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)(2)面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值

2、的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析【典例指引】例1已知椭圆c：三+/=1(4bO)的一个顶点为M(,),离心率为半，直线/：y=H+m(攵WO)与椭圆C交于A,B两点，若存在关于过点M的直线，使得点A与点B关于该直线对称.(I)求椭圆C的方程；(II)求实数机的取值范围；(In)用用表示AMAB的面积S,并判断S是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.简析：易得：椭圆C：+/=1；(ID法一(韦达定理整体代入)：设A(XIM,B(X29J2),由卜Fj=3得：y=kx+m(3左2+1)x2+6AWX+3疝-3=0,所以A=(GAtw)?-4(3标+*3掰，-

3、3)0,m23k2+1,6km3w2-32m%+x2=一痔T%与=赤丁M+必=痔F因A,B关于过点M(OT)的直线对称，故IMAI=IMB则有才+(总+球=*+(当+球，可得：(x2+x,)(x2-x1)+(y2+y1+2)(y2-y1)=0(x2+x1)(j2+y1+2)=0,可得：6km;F3k2+2m3k2+2k=0,则有：2m=3k2+1故=12机(2-加)Oog3=0,又中点C在直线AB上，则3kmkm北=环,因使得点A与点B关于过点M的直线对称，则过点M的直线为：J=-b则点C；-3hnm3Ar2+3Ar2+1-1=2w=3M+11,直线，与椭圆C交于A,B两点=中点C3km3F+

4、1：在椭圆内，则有3k2m2-+(3Ar2+1)(In)法一(面积转化为弦长)：IABI=J(XJ+(y必J=J呼一?)3k+1的距离=爆,%ABqIABMTM士吗更正所以a/2171252=3+W2J,设f(m)=3+m2,-m2t则/(m)=一y0,所以/(加)在g,2)上是减函数，所以面积S无最大值.学&科网法.(向枳坐标化公式)：易得向量MA=(X,y+1),MB=(2,%+1),则有SAMAB=1y2+-ZK-X2=(H+M-(U+M+X一引=(加+1)!司(m+1)J12相(2一团)3(221tn2=2=3=JHm，/4机4Vw)2最大值.（Q1可得AMAB的面枳S的取值范围为0,

5、kIoy点评：（1）第二小间分为两个操作程序：据对称性得到直线AB斜率上与截距机之间的关系：据位置关系构建直线AB斜率上与截距加之间的不等关系.点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB的斜率，故可以使用韦达定理整体代入.实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；横坐标5般纵坐标;法二则点差法处理弦中点问题.均可得到直线AB的斜率与截距7之间的关系.构建不等式的方式：法根据“线与椭I员I的位置关系，利用判别式构建参数机的不等

6、式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数m的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：构建-面积的函数关系；求函数的值域.法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离.法二利用三角形面积的坐标公式S=；IXy2一/,|，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合.关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见.特别要注意基本函数的和与差这种

7、结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程.学&科网变式与引申：若过点M的直线交椭圆于D,求四边形MADB的面积的取值范围.简解：直线MD的方程为：y=-gx-1代入椭圆可得：（M+3）x四总一T4）-八）一小+4+6Ax=0=XD=-B；Kk+3=Sg3=叱；*又因2加=3好+1代入可得：/C十，KIDKIJ11rr、8w4+38w3+30w2+32w+32i,27(w+1)2(2-w)f1Q1Ar+中Swr则/(M=_7-4，则/(加)=/、2Z在不2上为减国数,w(w+4)w(w+4)(2-加)=27(-/+3加+2)m(m+4)2w3+8w2+16w令N=8m+19(

8、w+4)2t-8W38w_24.,8w1921人工1中42./x1,1A,s.=-4b)的左、右两个焦点分别为大,玲，离心率6=等，短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)点A为椭圆上的一动点(非长轴端点)，A6的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求A8C面积的最大值.【思路引导】(1)由题意得力=1，再由e=g=亚,。2=/+。2=0,c=1=标准方程为二+y2a22当AB的斜率不存在时，不妨取41,SMBC=；义2五=五、当AB的斜率存在时，设AB的方程为y=%(x-1),联立方程组y=Z(x-1)X2,n(2F+)2-4入+2攵2-2=0%+冗2=+y=1、724公2k2-

9、212+-用k=A8=20上-,又直线晚一丁一=0的距离=点C到直线A8的距离为112A2+12+12居”-AB2d=-2222、k2+2P+1225T2ABC44(2k2+1)面积的最大值为J5解析：（1）由题意得2b=2,解得6=1,学&科网e=-=,a2=Z2+c2,.a=J2,c=1,a2故椭圆的标准方程为+=1(2)当直线都的斜率不存在时，不妨取樽小书+闾故Su=gx2=i;当直线?的斜率存在时，设直线,4的方程为j=r(x-1),y=Ar(X-I)联立方程组/,+V2=12.化简得(222+1)/一4k21+212-2=0,4r2k2-2设A(X,),8(x2,%)，%+%=可再T

10、X飞=玄WIAM=(1+2)(x1+x2)2-4x1x2点O到直线AX-y-3=0的距离因为O是线段AC的中点，所以,C到宜线AB的距离为2d=S2;I同2d=：.12&WZZAK+1综上，ABC面积的最大值为2.学&科网【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知杂,涉吸函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为+y?=1;(2)利用分类与整合思想分当AB的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得4k21,c2+12k

11、x1+x2=-,X1-X2=AB=2上J-，再求得点C到直线AB的距离为2d=-/In1 22k2+1,2112k2+1k2+1SAABC=qAB2d=q21套)京=2应IJABC面积的最大值为例3、已知点A(-4,4)、B(4,4),直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2,点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；2 2)Q为直线y=-1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E,求AQDE的面积S的最小值.【思路引导】(I)设May),由题意得二一上心二一2,化简可得曲线C的方程为(xw4);(II)x+4x-4设。(加1),切线方程为y+1=k(x-

12、m),与抛物线方程联立互为f-4丘+4(6+1)=0,由于直线与抛物线相切可得=(),解得x=22,可切点(2%/2),由M-AW-I=0,利用韦达定理，得到QD1QE,得到AQDE1为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值.试题解析：(I)设M(x,y),由题意可得：=一二=一2,x+4x-4化为x2=4y.曲线C的轨迹方程为7y且(x4).联立y+丁，*化为x-(2Dw,/=4y由于直线与抛物线相切可得A=O,即k?-km-1=0./.x2-4kx4k20,解得x=2k.可得切点(2k,k2),由k-km-I=0.k-k2=m,kkz=-1.，切线QD1QE.QDE为直

13、角三角形，S=QDQE.令切点(2k,k到Q的距离为d,贝JcP=(2k-m)2+(k21)2=4(k2-km)m2(km-2)2=4(k2-km)nrk2m2-4km4=(4-n2)(k21),QD=(4+w2)(z+1),IQE1=J(4+)(J+1),S=；(4m2)y(k1+A)2-2kk2+2=g(4+m?)4+w24,当m=0时，即Q(0,-D时，AQDE的面积S取得最小值4.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解.【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键.X2V21例4、已知椭圆C：J4=1(b0)的焦距为2,离心率e为二.ab2(I)求椭圆C的标准方程；(H)过点p1作圆f+y2=1的切线,切点分别为M、N,直线MN与X轴交于点以过点E作直线/交椭圆。于4、B两点,点E关于)轴的对称点为G,求GAB面积的最大值.【思路引导】(I)由椭圆的焦点为2,离心率