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1、函数值域的求法8大题型题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求,考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法,其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。J岁分技巧一、求函数值域的常见方法1、直接法:对于简单函数的值域问题,可通过基本初等函数的图象、性质直接求解;2、逐层法:求工(力”)型复合函数的值域,利用一些基本初等函数的值域,从内向外逐层求函数的值域;3、配方法:配方法是二次型函数值域的基本方法,即形如“),=公、+法+cm。)”或J=af(
2、x)2+bjx)+c(a0)”的函数均可用配方法求值域;4、换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有(1)产雪幺或),=五平的结构,可用“777=换元;cx+dax+b(2)y=ax+bfcxTd(a,b,c,d均为常数,a0,c0),可用“Jcx+d=f”换元;(3)y=bxya2-X2型的函数,可用“x=acos(0,)”或x=sin(e-g,j)”换元;5、分离常数法:形如y=(cw)的函数,应用分离常数法求值域,即cx+a,然后求值域;ax+babe-ad=j-cx+dcc2(x)6、基本不等式法:形如y=+0)的函数,可用基本不等式法求值域,X利用基本不等式法求函数
3、的值域时,要注意条件“一正、二定、三相等“,即利用a+b14ab求函数的值域(或最值附,应满足三个条件:40,b0;a+b(或ab)为定值;取等号的条件为,三个条件缺一不可;7、函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性,根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y=办+b-G77(c0时,若利用基本不等式等号不能成立时,X可考虑利用对勾函数求解;当0:SinX=g(y),则1g(y)19、判别式法:形如y=+(a1a2WO)或y=Ar+Bax2+bx+c(ABa0)a1x+4%+q的函数求值域,可将函数转化为关于X的方程/(,y)=O,利用二次项系数不为0,判别式A0或二次项系数为0,一次
4、方程有解得出函数的值域。10、导数法:对可导函数AX)求导,令八X)=O,求出极值点,判断函数单调性;如果定义域是闭区间,则函数最值一定取在极值点处或区间端点处;如果定义域是开区间且函数存在最值,则函数最值一定取在极值点处。二、根据最值条件求解参数范围解题思路已知函数的最值求参数范围时,要视参数为已知数,结合函数值域(或最值)的求法,得到函数的最值(含有参数),再与给出的函数最值作比较,求出参数范围。热点题型解读【题型1单调性法求函数值域或最值】例1(2023秋陕西西安高三校考期中)函数/(幻=-2在区间11,21上的最小值是()77A.-B.-C.1D.-1【变式1-1(2023秋.北京.高
5、三北京市第一六一中学校考期中)已知函数=w,则/的值域是.【变式1-2(2023春浙江舟山.高三校考开学考试)已知KC(O,5,则函数4z、y=cosx+()cosXA.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+【变式NI2023全国高三专题练习屈数)=1nx+1n(2)的最大值为.【变式1-4(2023秋.江苏苏州.高三校联考阶段练习)已知函数.”幻=鬻是R上的偶函数(1)求实数加的值,判断函数A在1。,+8)上的单调性:(2)求函数X)在T,21上的最大值和最小值.【变式1-5(2023秋.黑龙江牡丹江高三校考阶段练习)已知函数/(x)i(a0,且1)的图象经过点4I,4),8(3
6、,16).(1)求函数小)的解析式;(2)设函数g()=(%)-(T)(X2),求函数g(x)的值域【题型2配方法求函数值域或最值】例2(2023秋.江西鹰潭.高三贵溪市实验中学阶段练习)函数.y=g+4的值域是.【变式2-1(2023.全国.高三专题练习)若函数Wv+1,则函数g(%)=(x)-4x的最小值为()A.-1B.-2C.-3D.T【变式2-2】(2023.全国高三专题练习)函数3=x+27的最大值为【变式23】(2023秋广东深圳.高三深圳中学校考阶段练习)已知函数/(x)=sinxcosx+2sinxcosx+2,则/(x)的最大值为().A.3+垃B.3-2C.2+2D.2-
7、J1【变式2-4(2023秋北京高三校考阶段练习)函数/(x)=SinX-8s2x是()A奇函数,且最小值为-2B.偶函数,且最小值为-2QC.非奇非偶函数,且最小值为彳D.非奇非偶函数,且最大值为鼻OO【变式2-5】(2023全国高三专题练习)已知函数4X)=(XT)(2x+y+b),对任意非零实数X,均满足/()=则/(T)的值为;函数HX)的最小值为.【题型3分离常数法求函数值域或最值】例3(2023秋河南郑州高三校考阶段练习)函数N=黑色的值域是()A.(-0u4,+)B.(,0=2,y)C.0,4D,0,2【变式31】(2023秋上海徐汇.高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)函数加缶
8、的值域为【变式3-2(2023秋天津滨海新高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知x0,3),贝廿=争的最小值此时X=.【变式3-3(2023秋湖北高三校联考阶段练习)已知1x4,则函数/(X)=:+:Z1的值域为,X+x4x4【变式3-4(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=2,+h2T.(1)若/O)在(1)是增函数,求实数攵的取值范围;(2)若/(x)+I2在2,同上恒成立,求实数k的取值范围.【题型4判别式法求函数值域或最值】例4(2023秋浙江宁波高一镇海中学校考期中)函数/(X)=壬字的值域.【变式4-1】(2023全国高三专题练习)若函数f()=F的最大值为。,最
9、X+1小值为6,则4+6=()A.4B.6C.7D.8【变式4-2(2023.全国高三专题练习)函数f()=Wm的最大值与最小值的和是()5?2A.IB.fC.1D.-【变式4-3】(2023.全国高三专题练习)函数y=的值域为.【变式4-4(2023全国高三专题练习)求函数冲62X+5+&以+13的最小值.【题型5逐层法求函数值域或最值】例5(2023秋江西宜春高三江西省丰城中学校考阶段练习)已知鬲函数f)=F的图象过点(9,3),则函数)=共管在区间1,9上的值域为()A.-1,0B,-10C.0,2D,-,1【变式5-1(2023春江苏南京高三统考开学考试)已知函数/(x)=Sinb+)
10、+sin(获一x1g(x)=(x),则g(x)的最大值为()3A.2B.3C.-D.24t+32x+14,+2t+1【变式5-2(2023秋安徽六安金寨县青山中学高三开学考)函数/U)=4x2x2一3/0,2的最小值是.【变式5-3(2023秋.吉林白城.高三校考阶段练习)已知函数/(M=向-川,则函数”x)的值域为【题型6导数法求函数值域或最值】【例6】(2023.陕西宝鸡统考一模)函数y=In1V,12,4的值域是.【变式6-1】(2023秋江苏高三校联考阶段练习)函数/(x)=3A1-3hu的最小值为.【变式6-2】(2023秋.安徽安庆高三安庆一中统考阶段练习)已知函数2+1刈=正可,
11、则”力在-2,0)0上的值域为()A.卜%-33工+8)B.(吟D.*)【变式6-3(2016.辽宁沈阳东北育才学校校考三模)已知函数/(x)=e-1sin2x(xeR),则函数/的最大值与最小值的差是【题型7已知函数的最值求参数】【例7】(2023浙江杭州模拟预测)/(幻=2二;1I*的最小值是-1,则实数,的取值范围是()-ax,xk(2,+oo)【变式7-2(2023秋.新疆乌鲁木齐.高三乌市八中校考阶段练习)若函数/(X)=誓在区间0上的最大值为3,则实数X【变式73】(2023秋.江西.高三九江一中校联考阶段练习)已知函数/()=r2x1,xU,且/(力的最大值为。+2,贝IIa的取
12、值范围是()A.-1,-B.-,-C.-2,-D.-1-【变式7-4(2023.内蒙古赤峰.高三赤峰二中校考阶段练习)已知函数y=x)是定义域为R的奇函数,且当“0,函数/(x)=x-犬+J2x-f的最大值为,则实数。的值为.办艮时检测(建议用时:60分钟)1 .(2023全国高三专题练习)函数AX)=三的值域是()A.(-,-1)(1,+)B.S,2)C.(0,2)(2,+oo)D.-1,+oo)2 .(2019秋黑龙江鸡西高三鸡西实验中学校考阶段练习)函数尸卜7-4(叱/4)的值域为()A.-4,一2B.T一3C.-3,4D.-3,-23 .(2023全国高三专题练习)函数八X)=J3_2:;二12sinFgD2冲的最小值是()A.JB.-1C.-42D.-3X4 .(2023秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中阶段练习)已知函数“幻=777的定义域为也+00),则函数/(X)的值域为()x10的值A.-2,+)B.-2,C.网D.#8)5 .(2023秋.辽宁锦州.禺三校考阶段练习)已知函数域为R,则实数。的取值范围是()A.(f1)B.C.一行)D.(一*1)6 .(2023.全国高三专题练习)函数/(力=/的值域为()A.(0,1)B.(0,1C.(0,2)D.(1,2)7 .(2023全国高三专题练习)设XeR,用表