导数与零点综合5大题型.docx

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1、导数与零点综合5大题型命题趋势导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，在高考中难度偏大。满分技巧一、函数零点问题常规求解步骤：第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与X轴（或y=k）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质,进而画出其图象；第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数。二、利用导数确定函数零点的常用方法1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形

2、结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。三、利用函数的零点求参数范围的方法1、分离参数（a=g（x）后，将原问题转化为y=g（x）的值域（最值）问题或转化为直线y=a与y=g（）的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解。四、导函数的零点不可直接求时的应对策略1、“特值试探法”：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值

3、试探，此时特殊值的选取应遵循一下原则：当含有InX的函数中，通常选取x=i,特别的，选当=O时，X=I来试探；在含有，的函数中，通常选取X=InA,特别的，选取当A=I时M=O来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决。2、“虚设和代换法”：当导函数（）的零点无法求出显性的表达式时,我们可以先证明零点的存在，再虚设为飞，接下来通常有两个方向：由/（%）=（）得到一个关于工。的方程,再将这个关于%的方程的整体或局部代入了（%）,从而求得八见）,然后解决相关的问题；根据导函数r（X）的单调性，得出.%两侧导函数的正

4、负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。乎热点题型解读题型1讨论函数零点的个数题型2证明唯一零点问题题型3根据零点个数求参数范围题型4隐零点的相关问题题型5与三角函数有关的零点【题型1讨论函数零点的个数】【例1】（2023河南高三安阳一中校联考阶段练习）函数力1/+-O的零点个数为（）【变式IJ】(2023春广东高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=x21n-,02,则方程WOOF+8/3+4=0在区间(M0上的实根个数为()A.8B.10C.16D.18【变式1-2(2023春河北邢台高三邢台市第二中学校考阶段练习)已知函数/(x)=r2-1+1nx(a0).(1)若a=1,求/的单调

5、区间；(2)讨论/U)零点的个数.【变式1-3(2023秋江苏苏州高三统考期末)已知函数A)=In(X+1)-舄.(1)若一。时,求实数。的取值范围；(2)讨论/*)的零点个数.【变式1-4(2023全国模拟预测)已知函数/(x)=-“M+p+：,eR.(I)若直线y=。是曲线y=)的一条切线，求。的值；(2)判断函数F(X)的零点个数.【题型2证明唯一零点问题】【例2】(2023全国高三专题练习)已知函数Ax)=e,求证：(1)小)存在唯一零点；(2)不等式-丁+1+(InX)203立.【变式2-1(2023.山东.烟台二中校考模拟预测)已知函数f(x)=(Inx)2+aInX-2x+2.(

6、1)若曲线y=(x)在点(ej(e)处的切线方程为2y+b=0,求”的值;(2)若2,证明：/在区间(1y)内有唯一的零点.【变式2-2(2023.陕西西安.西安市第三十八中学校考一模)已知函数/(x)=x1nx+6t(x-1).(1)当。=-2时,求/(力的单调区间；(2)证明：当。VT时，H在(1+)上存在唯一零点.【变式2-3】(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=(x+1)InAg-2)x+2,R.(1)当N0时,求函数f(x)的单调区间；(2)证明：函数”可存在唯一零点.【题型3根据零点求参数的取值范围】例3(2023春北京高三北京市八一中学校考开学考试)已知函数ev-11x

7、1力=1,若函数g()=3-区有两个不同的零点，则实数攵的取值-(x-1),x1范围【变式31】(2023山西忻州统考模拟预测)已知函数/(x)=e2+S-2)e，-以.(1)讨论f的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.【变式3-2(2023新疆乌鲁木齐统考一模)已知函数/(X)=加-3/1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为.【变式3-3(2023春河南安阳高三安阳一中校联考阶段练习)已知函数f(x)=x(nx-a)+a.(1)当=I时，求/的极小值；(2)若/(X)在区间He上有且仅有一个零点，求实数。的取值范围.【变式3-4(2023秋福建泉州高三校考开学考试)已知函数/

8、(x)=1nx-r+1-1n2,(x)=.(1)求函数“)的极值点；(2)当()时,当函数MH=x)r(x)恰有三个不同的零点,求实数。的取值范围.【题型4隐零点的相关问题】【例4】(2023河南焦作统考模拟预测)已知函数f()=*与g(x)=1nx+(2)x+1(eR)的图象没有公共点，则实数。的取值范围是()A.(F-3)B.(-oo-1)C.(y,0)D.(-,1)【变式4-1(2023湖南模拟预测)若函数y=e与y=e(Inx+)的图像有两个不同的公共点,则。的取值范围为.【变式4-2(2023贵州毕节统考一模)已知函数Ax)=)】。.(1)求曲线y=/(X)在点(IJ)处的切线方程；

9、(2)证明：当0时，函数f(工)存在唯一的极大值点.【变式4-3】(2023春山东高二山东师范大学附中校考期中)已知函数/(x)=ev-r2(e=2.718).(1)若/a)在(0,田)有两个零点，求实数。的取值范围；(2)设函数双外=。)+0?_1_幻，证明:g(2存在唯一的极大值点置，且Fg)q.【题型5与三角函数相关的零点】【例5】(2023江西上饶统考一模)已知函数/(x)=sin2x+2sinx-1,则/(x)在x0,2023上的零点个数是()A.2023B.2024C.2025D.2026【变式5-1(2023.河南长葛市第一高级中学统考模拟预测)已知函数ex+x,x0=.C,r叫

10、丫x-1UX913、（9131C913“W）CaD4,T【变式52】(2023秋河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)已知函数/(x)=e1sinx+r,a0,.(1)若=T,求/(X)的最小值；(2)若/O)有且只有两个零点，求实数。的取值范围.【变式53】(2023秋内蒙古包头高三统考期末)已知函数/(X)=山-1)x+1(1)若/W存在极值，求的取值范围；(2)当。=2,且KW(OK)时,证明：函数X(X)=/(x)+s加有且仅有两个零点.【变式5-4(2023江西上饶统考一模)已知/(x)=e-ax1g(x)=e*(1-sinx).(1)讨论/Q)的单调性；(2)g(0,3)h(x)=

11、f(x)-g(x),试讨论(%)在(。，兀)内的零点个数.(参考数据:”4.81)(建议用时：60分钟)1 .(2023春.四川南充.高三四川省南充市高坪中学校考开学考试)已知函数“x)=Y+加+6+(。0)在广-1处有极值,且极值为8,则/W的零点个数为()A.1B.2C.3D.4Or22 .(2023.全国.模拟预测)已知函数/(、)=券-1nx+%+”有零点，则实数。的取值范围是()A.(=o,-1-1n2B.(-I,1n2C.-1-12,1n2DI-,-1-1n2.I23 .(2023全国高三专题练习)已知函数/(幻二。*-卓-；在(0,+)上有两个不同的零点，则实数。的取值范围为.4

12、 .(2023秋.陕西渭南.高三校考阶段练习)已知函数/(x)=(1)1M+r在(1,)上不单调,贝卜的取值范围是.5 .(2023春山东济南高三统考开学考试)已知函数*)=sin2XTn(I+x),f(x)为/(x)的导数.(1)证明：7,a)在区间(Ta上存在唯一的极大值点；(2)讨论/U)零点的个数.6.(2023秋山东荷泽高三统考期末)已知函数/(x)=(e-x-1)7n(x+1)+x,a0.(1)证明：/W)存在唯一零点；(2)设g()=e+x,若存在22w(T),使得Fa)=g(%)-g(),证明:x1-Zx21-21n2.7.(2023春河南高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)

13、已知函数f(x)=ex-ax-a.(1)若/()在(0,y)上单调递增,求。的取值范围；(2)若/(x)存在零点且零点的绝对值小于2,求。的取值范围8.(2023春江苏南京高三校考开学考试)已知函数/O)=办-3+1)InXMWR.(1)若。=-2,求函数/的单调区间；(2)若1,且/(幻1在区间卜上恒成立，求。的取值范围；(3)若,判断函数g(x)=M)+”的零点的个数.参考答案【题型1讨论函数零点的个数】【例1】（2023.河南.高三安阳一中校联考阶段练习）函数力的零点个数为（）A.1B.2C.3D,4【答案】B【解析】易知/U）的定义域为巾工。,广=/,令f30,解得7x。，解得XV-1

14、或,.”）在（F1）和（1收）上单调递增，当F-1时，人”取得极大值/（T）=-50,易知“力在（-8,0）上没有零点；当X=I时J（X）取得极小值/一0（2）=0,可知“力在（。，+8）上有2个零点.综上所述，“X）的零点个数为2.故选：B.【变式I】（2023春广东高三校联考阶段练习）已知函数小）=Hn2（x-2）,x2,则方程3刈2+8/3+4=0在区间（0,10上的实根个数为（）A.8B.10C.16D.18【答案】C【解析】由3/（力2+8小4=0,可得X）=-2或/（力=-：当0x2时，f（x）=d弓，贝IJra）=x（2k+1）,2当笈时，r（）O,函数/（“单调递增，所以当02时，=/住).因为函数/(X)在区间(2几2+2(。)上的图象是由/(切在(2-2,2上的图象先向右平移2个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到的,作出函数“在(。，上的图象