平面向量数量积及其应用9种常见考法归类.docx

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1、平面向量数量积及其应用9种常见考法归类二=解题策略1.向量的数量积(1)向量数量积的定义向量的夹用：已知两个非零向量4,b,。是平面上的任意一点，作况=4,彷=仅如图所示)，则NAO8=0(09)叫做向量与的夹角.向量的平行与垂直：当O=O时，。与力同向；当O=九时，Q与b反向；如果Q与b的夹角是，我们说a马b垂直，记作ab.向量的数量积：已知两个非零向量Q与瓦它们的夹角为。，我们把数量Ia11bIeoSe叫做向量”与力的数量积(或内积)，记作abt即ab=abcos_0.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)向量的投影CAtB,D定义：如图，设。，力是两个非零向量，h=a,Cb=bf作如

2、下的变换：过皿的起点A和终点3,分别作K)所在直线的垂线，垂足分别为A,Bi,得到否玄，则称上述变换为向量向向量方投影，4玄叫做向量。在向量方上的投影向量.计算：设与方向相同的单位向量为e,。与b的夹角为a则向量。在向量b上的投影向量是Ia1COS他.(3)向量数量积的性质设”,是非零向量，它们的夹角是仇e是与力方向相同的单位向量，则ae=ea=IQ1CoS_0a1.b0ab=O.当a与b同向时，5=网；当与b反向时，a-b=-ab.特别地，=F或=ab,t:Ia1=?十赤。_1bG1X2+)1)2=OX112+)D2Nr?+)叭/后+货.设。是。与b的夹角，则cos。=a*bX1x2+)D2

3、(6)数量积的有关结论3口)2=Q22G6+52.3+b)(-b)=2/+/=Outt=O且b=0.(7)平面向量与平面几何综合的有关结论若就，前为非零向量，则给出磁A=0,等价于已知MAMB给出磁AV0,等价于已知NAMB是钝角或两向量反向共线；给出麻痴0,等价于已知/AM8是锐角或两向量同向共线.给出z=7,等价于已知M尸是NAMB的角平分线.在nABCO中，给出(屈+助)(A-A)=O,等价于已知QABCO是菱形：给出I屈十劝|=A-7),等价于已知口ABCo是矩形.2、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式(ab)(ab)=a2-b2=a2-b2:abF=(

4、ab)2=a22ab+b2.3、解决向量垂直问题一般思路解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a_1bCa5=0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.4、求向量a,b的夹南8的思路（1）求向量的夹角的关键是计算ab及IaI1b在此基础上结合数量积的定义或性质计算COSHh=丽？最后借助,求出。值.（2）在个别含有囿,Ib1与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算CoS夕的值.5、解决向量投影问题应注意以下三点（1）向量a在b方向上的投影向量为Ia1COSee（其中e为与b同向的单位向量）,它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角0的余弦决定.（2）向量

5、a在b方向上的投影向量需春（3）注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为IbICoS啼.二高频考点考点一向量数量积的运算律考点二向量数量积的运算（一）定义法（二）基底法（三）投影法（四）极化恒等式法（五）坐标法考点三利用向量数量判断平面图形形状考点四向量数量积的最值问题考点五向量的垂直问题考点六向量的模考点七向量的夹角问题考点八向量的投影问题考点九平面向量数量积与三角函数的综合8考点精析考点一向量数量积的运算律1 .【多选】（2023春湖南衡阳高一衡阳市八中校考阶段练习）下列说法正确的是（）a.pSSB.若与匕平行，与C平行，则与C平行C.若/

6、=c?且b工0,则=cD.和6的数量积就是在b上的投影向量与的数量积2. （2023春陕西西安高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）对于任意的平面向量,b,c下列说法正确的是（）A.若5且方/（?,则eB.若ab=ad，且0,则8=3C.若且8=c,则。=CD.（ab）c=a（bc）3. （2023春陕西咸阳高一校考阶段练习）在等式0=0;0=0;（。乃）Y=小伍Y）;若A8=dd,且w,则b=W;其中正确的命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4考点二向量数量积的运算（一）定义法4. （2023秋贵州贵阳高三统考期末）已知向量。=（1,3）,+力=（T,2）,则.方二.5. （2023秋内蒙

7、古包头高三统考期末）己知A8=（4,2）,AC=（1,4）,则AB/。=（）A.-8B.-16C.8D.166. （2023秋江西萍乡高三统考期末）在平面直角坐标系中，向量力满足=（U）,2+36=（-1,5）,贝JA=7. （2023秋云南高一云南师大附中校考期末）在正三角形48C中，AB=2,M,N分别为AB,AC的中点，则AMBN=（）A.-B.一3C.BD.-22228. （2023秋河北邯郸高三统考期末）已知向量兄。的夹角为,且忖=2,W=I,贝IJa（b-a）=（）A.3-4B.33-4C.-2D.19. （2023春重庆高三重庆市长寿中学校校考期末）已知向量力满足W=1M=2,=

8、g,则（+）=（）A.-2B.-1C.OD.210. （2023春四川成都高三校联考期末）已知向量4、满足W=2,W=5,且与匕夹角的余弦值为（，则（。+2叶（3-）=（）A.-30B.-28C.12D.7211. （2023上海统考模拟预测）a=（1,2）=（-1,）,tz=5=.（二）基底法12. （2023秋河南高三校联考期末）已知等边的边长为3,0是边AB上的中点，则DA（DB+DC）=.13. （2023秋贵州贵阳高三统考期末）在J1BC中，AB=AC,是BC边上的中线，且BC=4,AD=3,则ABAC=（）A.-5B.5C.-8D.814. （2023秋黑龙江齐齐哈尔高三校联考期末

9、）在J1BC中，AB=4,AC=3,zfA=60.AC=3AM,N=BCf则AN8M=（）3175A.B.C.-D.622215. （2023秋江苏无锡高三统考期末）在平行四边形ABCD中，已知OE=TEe,8尸二g尸C,网=2,AF卜26，则Ae.8O=（）.A.-9B.-6C.6D.916. （2023秋湖南长沙高二雅礼中学统考期末）如图，在同一平面内以平行四边形ABC。两Tr边AaA力为斜边向外作等腰宜角二4?石，AADF,若48=2,40=1,NBAO=:，贝IJ17. ACEF=（）18. （2023秋辽宁葫芦岛高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCO中,卜。二4,BA

10、BC=I2,E为AC中点、BE=2ED,求DAoC的值（）R19. （2023春山东烟台高一山东省招远第一中学校考期中）已知等边二ABC的边长为2,D2为BC的中点，P为线段AD上一点，PE1ACt垂足为E,当P8PC=-时，PE=（）1 .21-1A.AB+-ACB.B+-AC33361 Oirb1U1IOC.AB+-ACD.AB+-AC6333（H）投影法19. （2023全国模拟预测）在四边形ABC。中，AB=ZDC,作DH上AC于点H.若DH=2,则DHDB=（）A.93B.10C.H2D.1220. 【多选】（2023全国高三专题练习）已知正六边形48CQE尸的边长为1,P为正六边形

11、边上的动点，则AoBP的值可能为（）21. （2023全国高一专题练习）如图，已知正六边形ABCz）E尸边长为1,点P是其内部一UiuUtiti点，（包括边界），则APAC的取值范围为22. （2023全国高一专题练习）在边长为2的正六边形ABCOE/中，点P为其内部或边界上一点，则AOBP的取值范围为.（四）极化恒等式法zrrx2r2rrr223. （2023全国高三专题练习）阅读下一段文字：,+力）=a+2ah+h,=a-2ab+b,两式相减得（a+）-（a-b=4ahah=a+h一（一万）,我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算

12、.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在J1BC中，。是5C的中点，E,产是4。上的两个三等分点.（2）若A8AC=27,FBFC=-5,求EBEC的值.24. （2023春全国高一专题练习）半径为2的圆。上有三点A,8,C,满足OA+AB+AC=0，点尸是圆内一点，则E4PO+PBPC的取值范围是.25. （2023秋江苏苏州高三校考期中）如图，已知M,N是J1BC边BC上的两个三等分点,UUUUUU若BC=6,AMAN=4f贝IJAB-AC=.（五）坐标法26. （2023春重庆沙坪坝高一重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知边长为2的正方形ABCD,尸分别为AB,BC的中点，则。ACE的值为

13、.27. （2023内蒙古赤峰赤峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形ABC中，4=g8,CE=EB，则AEOE=（）9339A.B.-C.D.-422428. 【多选】（2023春宁夏石嘴山高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图，在直角梯形ABC。中，ABCDfADJ.AB,AB=2AD=2CD=2,E是Be的中点，则（）A.AEBE=-B.EB=-AB-AD242C.ACBC=OD.AE=AB-AD29. （2023安徽高二马鞍山二中校考学业考试）在,ABC中，ZA=90o,A8=AC=4,点M为边A8的中点，点尸在边Be上，则PCP的最小值为.30. （2023春山东青岛高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知二ABC是边长为2（0）的等边三角形，P为所在平面内一点，则P4（P8+PC）的值不可能是（）A.a2B.cC.cD.2zz22331. （2023天津校联考一模）如图所示，梯形ABC。中，AD/BC,点E为AB的中点,A-C=06Z）4A=6D4）=4,若向量。心在向量CB上的投影向量的模为4,设M、N分别为线段Co、AO上的动点,且CM=CD,AN=与4，则EMEN的取值范围是（）