抽象函数及其性质8大题型.docx

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1、抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解,但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,复制规律一般有以下几种：1-2,-1,0,1,2等特殊值代入求解；2、通过/(%)-/(6)的变换判定单调性；3、令式子中出现/(力及)(r)判定抽象函数的奇偶性；4、换工为x+T确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：(1)凑：凑定义

2、或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.若给出的是“和型”抽象函数/(+y)=,判断符号时要变形为：fM-fM=/(u2-1)+1)-/(%,)或/(七)一fM=/(4)一/(西一8)+占)；若给出的是“积型”抽象函数/3)=，判断符号时要变形为：-)或U2)-fM=/U2)-/小三、常见的抽象函数模型1、f(+y)=()+(y)可看做/(X)=依的抽象表达式；2、+y)=()(y)可看做/(H=的抽象表达式(。()且。工1);3、3)=x)+(y)可看做x)=1OgQX的抽象表达式(a0且u1)；4、/(肛)=/()”y)可

3、看做“力=X”的抽象表达式.四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质;2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件,更不要臆造条件,推理过程要层次分明，书写规范。热点题型解读题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的求值问题题型5抽象函数的单调性问题1一题型6抽象函数的奇偶性问题抽象函

4、数及其性质题型7抽象函数的周期性问题题型4抽象函数的值域问题题型8抽象函数的对称性问题题型3抽象函数的解析式问题一一【题型1抽象函数的定义域问题】例1(2023秋四川广安高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习)已知y=(2x+i)定义域为(,3,贝=的定义域为()A.(2,6B.(0,1C.(1,2D.(U【变式1-11(2023秋福建福州高三校考开学考试)已知函数y=(2)的定义域是t,则函数/(1og./)的定义域是()A.-1,1B.一；,3C.1,3D.3,9【变式I2023秋.河南驻马店.高三校联考期中已知“X-5)的定义域为2,6,则/(x+1)的定义域为.【变式1-3(2023秋.

5、上海黄浦.高三格致中学校考期中)函数/的定义域是(1,+),则函数的定义域是.【变式1-4(2023秋.四川遂宁高三校考阶段练习)已知函数/3的定义域为/(2a)3,6,则函数=Jgj2.)的定义域为【题型2抽象函数的求值问题】例2(2023秋浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知对所有的非负整数y(y)均有/(+y)+f(-y)-+y=g(2)+(2y),若/0)=3,则5)=.【变式2】(2023秋河南高三阶段练习)已知定义在(OM)上的函数/5满足对任意X,yeQ),/W-A=f(j),/(2)=1,贝u(=.【变式2-212023秋浙江衢州.高三统考阶段练习H知定义在。/上的

6、函数/3,对于任意与，再式。，当N0,则满足不等式U)U2)N2的-的取值范围为.【变式5-1】(2023秋河南南阳高三南阳中学校考阶段练习)已知函数/(”是定义在R上的函数，对任意,WR,满足条件f(x)-2=(x+y)-y),/=3且当“0时,Wo,g(%)oj()是减函数，g。)是增函数，则下列说法中正确的有()A.g(x)+G)是增函数B./(x)-g(x)是减函数C.f(x)g(x)是增函数D.%是减函数【变式5-32023.浙江台州统考模拟预测I多选H知定义在R上的函数/(力，满足：Vx,yR,/(x+y)=3,则()A.函数/U)一定为非奇非偶函数B.函数/W可能为奇函数又是偶函

7、数C.当0时,/(x)1,则/(x)在R上单调递增D.当xo时J(X)1,对任意,eR都有/(+y)=()(y),“1)=2(1)求/的值.(2)求证：对任意XjaAo(3)证明：/W在R上是增函数.【题型6抽象函数的奇偶性问题】【例6】(2023秋上海普陀高三统考期中)记max/=：?,已知/、g(x)均是定义在实数集R上的函数，设/心-)=/3超*),有下列两个命题：若函数/*)、g*)都是偶函数，则力也是偶函数；若函数/、g*)都是奇函数，则力也是奇函数.则关于两个命题判断正确的是()A.都正确B.正确错误C.错误正确D.都错误【变式6-1(2023秋河北廊坊高三统考开学考试)已知定义域

8、为R的函数/U)满足：x,yR,/(x+y)+(x-y)=(x)(j),且/0)=1,则下列结论错误的是()A./(0)=2B.7为偶函数C.)为奇函数D./(2)=-1【变式6-2(2023春四川成都高三成都七中校考开学考试)已知1)+1是奇函数，则下列等式成立的是()A./(x-1)+(-1)=-2B./(x-1)+(-x-1)=2C./(x+1)=(x-1)D./(x+1)=(-x-1)【变式6-3(2023秋黑龙江牡丹江高三校考阶段练习)定义在R上的连续函数/(X)、g()满足对任意、,R,/(+y)=()g(y)+/()g(),g(+y)=/()(y)+g()g(y),g(2)=2g

9、()f-1.(1)证明：g()(*);(2)请判断八劝、g(x)的奇偶性；(3)若对于任意XWR,不等式g(2)ng()-6恒成立，求出m的最大值.【变式6-4(2023秋山西太原高三统考期中)已知函数/对任意XeR都有f(+y)=f+f(y),且当o时，.(1)证明：=/()为定义在R上的单调递增奇函数；(2)若/(4)=4,求|/(1%刈1的解集【6-5(2023.全国高三专题练习)已知函数/(力对任意”,yeR,/(xy)=W+(y),且当Qo时，x)0,判断函数小)的单调性.【题型7抽象函数的周期性问题】【例7】(2023秋.河南.高三信阳高中校联考期末)已知/(力,雇工)是定义在R上的函数，且均不恒为0，g(x)为偶函数，/(2