第11讲 解三角形精于构图数形互助路清理明.docx

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1、第11讲解三角形精于构图，数形互助路清理明典型例题【例1】在AA8C中，。为边8C上一点，BD=-DC,N4O8=120,AD=2,若AADC的面积2为3-6则NBAC=.【例2】在4A8C中，角48、C所对的边分别为。、b、c,若NA=X,=3,则分+c?的3取值范围是.【例3】448C中，边。、b、C分别是角4、8、C的对边，且满足COSACosB=b:a,试判断48C的形状；在448C中，若QeoSA+bcos8=ccosC,判断三角形形状.强化训练1已知M8C,AB=AC=A,8C=2.点D为A8延长线上一点，BD=2,连接8,则一DC的面积是，COSZfiDC=.2.为了测量两山顶M

2、,N间的距离，飞机沿水平方向在48两点进行测量，点48,M,N在同一个铅垂直面内(如图11-4所示)飞机能够测量的数据有俯角和48间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算点M,N间距离的步骤.图11-4解答过程【例1】在AA8C中，D为边8C上一点，BD=-DC,/4)8=120。，AD=2,若aADC的面积2为3-布,则NBAC=.【解析】【解法1】如图11口所示，由点A作垂线47_18C于点H图I1T,.Sadc=-D4DCsin60o12DC-=3-3,222DC=2(3-1),XV/AH1SC,ZADH=GOo,D

3、H=4Dcos60o=1./.HC=2(币-I)-DH=23-3.XSD=-CD,SD=3-1.,.BH=BD+DH=3,XAH=4Dsin60o=3.2.在R1ABH中,AH=BH,：.ZBAH=45o.又在RtZXAHC中，tanMC=-=2-3所以NH445。.AH3.ZBAC=ZBAH+ZCAH=60【解法2如图I1-I所示，同【解法1】求得DH=1,AH=币,BD=3-1,DC=2y3-2,于是在RtAAHC中，由m=J,HC=23-3,得AC=3点-布，DCsinZDACsinNDAC=从而在NDC中，由正弦定理得ACsinZADCF=T结合WC心知ec=45。又在RtUADH中，

4、由AH=瓜BH=6得ZABH=45=/BAD=ZADH-ZABH=60-45。=15.故ZBAC=ZBAD+ZDAC=15+45=60.【解法3】SADc=DCADsin60=3-3,.DC=2(6-1),BD=3-1,如图II-I所示，在aAOC中，由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2AD-DCcos600=4+4(6-1)2-2x2x2(G-1)x124-126=6(4-2月2又。CBC=6(6一I)?=6(4-2g),.AC2=DCBC,又.ZACD=NBCA.ACDBCA,ZBAC=ZADC=60【解法4】如图11-2所示，建立平面直角坐标系xy,Y由题设易知A(1,6),(1-3

5、,0),C(23-2,0),cA=tanZtABC=IN48C=45,c=tanZ4Cx=-(2+3)=ZACx=IOSo,故ZBAC=ZACx-ZABC=105o-45o=60o.【解法5】VSdc=DC-ADsin60=3-3,DC=2(3-1),B=3-1.设方A=Z丽=1,印JDe=-2Ja1=2,|I=G-1于是,由忘=症总=b-a得I忌12=(。2=b2+2-2b=(3-1)2+22-2(3-1)2cos120=6=ABT=卡由AC=OC-O4=一处一4得A(j2-(6+2h)2-24Z72M=22+4(3-1)2+42(3-1)cos1200=24-12=ACI=32-6,又BC

6、=BD+DC=3BD=363,从而由8C=AC-AB得BCF=(AC-AB=AC2+1-2AC-AB=(33-3)2=(24-123)+6-2(32-6)6cosZBAC=cosZBAC=-.2故由此得N84C=60.【例2】在aABC中，角4B、C所对的边分别为。、b、c,若NA=%,=J,则的3取值范围是.【解析】【解法1】A=巴,=T3,.*.a2=b2+c2-2bccosA,得3=b2+c2-bc.3.bc=b2+c2-3t.,.Z72+c2-3匕j,b2+c26,当且仅当b=c时取等号.XVb2+c2bc+33当b或C趋向于零时,从+c2趋向于3.b2+c2(3,6【解法2】设b2+

7、c2=t,由【解法1】得b2+c2-bc=3.b2+c2-bc=(r+c2).即(t-3)b2-tcb+(r-3)c2=O,.=t2c2-4(r-3)2c2.02(-3)2,2-8123时f=6.又+C?=t=bc+33,.te(3,6.*.Z?2c2(3.6.2t2-12sinOcos6=3,.,.r2-sin2=3,即产=22-sin2(920(O,:.sin2(O,I,/.2-sin21.2),(3.6,b2+c2e(3,6.2-san26另辟蹊径:由一sinOcos。=3得/sin26=3得sin236=22rr如图II-3可得-gy1,4x+2y(3,6,即Fde(3,6.sinBs

8、inC【解法5】A=Ja=A由一3sinA可得=sinB=2sinB,c=2sinC.sinA./+C2=4(sin2B+sin2C)=4-2cos2B+cos2(m-B0B-,则-工23-工上,.加(28-工,1.366626).34+2sin2B-6,.b2+c2(3,6.【例3】(1448C中，边。、b、C分别是角A、8、C的对边，且满足CoSAeos8=bs,试判断48C的形状；在aA8C中，若acosA+bcosB=ccosC,判断三角形形状.【解析】【解法1】：COSACOS8=b:a,而由正弦定理可知6e=sin8:SinA.CoSA_si.8,gpSinACOSA=Sin8co

9、s8.sin2A=sin28.cosBsinATA,8是三角形的内角，；有2=28或2+28=,即4=8或A+8=C.2ABC是等腰三角形或直角三角形.【解法2】由COSACOsB=b:a及余弦定理可得/f97工$化简得c一昨2=d)Q若/一贝从=。2,AABC是直角三角形.若储一从=。，则0%,Z48C是等腰三角形.综上可知，AABC是等腰三角形或直角三角形.【解法1】由正弦定理，题设条件可化为sicos4+sincos=sinCcosC,即si24+sin2=sin2C.左边和差化积，右边运用诱导公式得2sin(A+8)cos(48)=-sin2(A+8),即2sin(4+)cos(4-S

10、)=-2sin(4+)cos(4+8),*.*Sin(A+8)HO，cos(4-8)=-cos(+),移项，和差化积得COSACoS8=0./.CosA=O或cosfi=0,即4=卫或8=三.22.ABC是以NA为直角或以N8为直角的直角三角形.【解法3】由余弦定理，题设条件可化为：.22229I20122h+c-a.a+c-ba+b-ca+b=cIbc2ac2ab去分母得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),去括号得2b2+2c204+2b2+b2c20=Q2c2+b2c2JAB2-BE2=15SABC=；x2XviT=Vr,且cosBC=由/C=组=

11、3=2,得SBDC=巫SBDCBD2bdc2由COSNABC=2cos2BDC-1,得CGSNBDC=42 .为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在48两点进行测量，点4B,M,N在同一个铅垂直面内（如图11-4所示）飞机能够测量的数据有俯角和48间的距离，请设计一个方案，包括:指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用文字和公式写出计算点M,N间距离的步骤.【解析】需要测量的数据如答图11-2所示点A到点M、N的俯角分别为,片,点8到M、N的俯角分别为。2、62,点A,B的距离为d.（2）【解法1】选择AAMN.第一步:由正弦定理分别计算AM、AN.第二步:由余弦定理计

12、算MN.S11-2在aA3M中,根据正弦定理求出AM:AM二AS,即此d-,AM=sin%sinABMsizAMBsina2sin（cr+2）sin（a1+a2）在AABN中,根据正弦定理求出AN:ANABFmANd.dsin优即=,.AN=sizABNSinNANBsin2Sin(A-4)Sin(A-四)在AAMN中,根据余弦定理求出MN:MN=JAM2+AN?-24MANcos（5AM-/BAN）=Jam，+AN2-2AMANCoS（%一注）【解法2】选择qBMN第一步.由正弦定理分别计算BM,BN.第二步:由余弦定理计算MN（过程略）.【解法3（等积法）:如答图11-3所示.第一步:利用三角形面积公式分别计算3、BN第二步:由余弦定理计算MN（过程略）011*3【解法4】（解析法）.第一步:建系设点（如答图11-4所示）第二步:分别求出点M、N的坐标.第三步:由距离公式求出MN（过程略）.